椭圆内接n边形周长最大值

chendu

人机合作，期待精彩

谢谢星空老师对四面体外心O(R)－内心I(r)距离“公式”（OI²＝R²－3Rr）的彻底否定！以前有两位顶尖高手说这个“公式”不正确，我还心存侥幸：上帝难道真的在掷骰子吗？因为那么多几何关系式（等式和不等式）从二维向三维“移植”时，均踏上了“2→3”的独木桥，为什么著名的三角形外心O(R)－内心I(r)距离的Euler公式（OI²＝R²－2Rr）要另辟蹊径呢？

大自然何其诡秘！

这样，一个“向人类智慧挑战”的难题横空出世――四面体外心－内心距离公式到底是什么？

还有一个难题，也请星空老师和各位老师赐教：

设△ABC的三边长为a、b、c，使△ABC为光反射三角形的外接－内切共焦椭圆偶是唯一的，求这两个椭圆的长、短半轴的大小？

数学星空

利用对称性,重新对$n=5$进行计算，我们可以得到：
设椭圆: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, 的内接五边形顶点坐标$(-a,0),(x1,y1),(m,t),(m,-t),(x1,-y1)$,内切于五边形的椭圆: $x^2/m^2+y^2/n^2=1$

$(-a^6+3*a^4*b^2+b^6-3*a^2*b^4)*m^6+(4*a^3*b^4-6*a^5*b^2+2*b^6*a)*m^5+(7*a^4*b^4-4*b^6*a^2+3*a^8-6*a^6*b^2)*m^4+$
$(-12*a^5*b^4+12*b^2*a^7)*m^3+(-4*a^6*b^4-3*a^10+3*b^2*a^8)*m^2+(-6*b^2*a^9+8*a^7*b^4)*m+a^12=0$.........................................(1)

$(-a^6+3*a^4*b^2+b^6-3*a^2*b^4)*n^6+(6*b^5*a^2-2*b*a^6-4*b^3*a^4)*n^5+(-3*b^8+4*a^6*b^2-7*a^4*b^4+6*b^6*a^2)*n^4+$
$(-12*b^7*a^2+12*b^5*a^4)*n^3+(4*b^6*a^4-3*b^8*a^2+3*b^10)*n^2+(6*b^9*a^2-8*b^7*a^4)*n-b^12=0$.................................................(2)

$(a^12+b^12-20*a^6*b^6+15*a^4*b^8-6*a^2*b^10+15*a^8*b^4-6*a^10*b^2)*t^12+(6*b^14-20*a^6*b^8+14*a^8*b^6+14*a^2*b^12+$
$6*a^10*b^4-20*a^4*b^10)*t^10+(50*a^4*b^12+4*a^2*b^14-29*a^8*b^8+4*a^6*b^10-29*b^16)*t^8+(36*b^18-36*a^2*b^16+$
$36*a^6*b^12-36*a^4*b^14)*t^6+(-9*b^20+34*a^2*b^18-9*a^4*b^16)*t^4+(-10*b^22-10*a^2*b^20)*t^2+5*b^24=0$...................................(3)

$(-a^2+b^2)*x1^2-2*x1*b^2*a+a^4=0$........................................................(4)

$(b^4-2*a^2*b^2+a^4)*y1^4+(2*a^2*b^4+2*b^6)*y1^2-3*b^8=0$..............(5)

则$L(5)=2*sqrt((a+x1)^2+y1^2)+2*sqrt((x1-m)^2+(y1-t)^2)+2*t$..................(6)

chendu

精彩！星空老师辛苦了！

但比照L(3)、L(4)的表达式，L(5)还需简化。

L(n)的推导应该很难，也许还没有导出。

数学星空

对于$n=6 $利用对称性,我们很容易得到:
设内接六边形的各个顶点依次为$(-m,t),(0,b),(m,t),(-m,-t),(0,b),(m,-t)$得到方程:
$t^2-2*b*t+n^2=0$............................(1)
$m^2*b^2+a^2*t^2-a^2*b^2=0$........(2)
$m^2-n^2-a^2+b^2=0$......................(3)
分别解得:
$m = (a*sqrt(a^2+2*a*b))/(a+b), t = (b/a)*sqrt(a^2-m^2), n = (b*sqrt(b^2+2*a*b))/(a+b)$
最终算得:
$L(6)=4*((a^2+a*b+b^2)/(a+b))$

数学星空

数学星空

对于$N=7$的计算,利用对称性计算量依然很大.....
对于$N=8$的计算,利用对称性我们依次设内接八边形的各个顶点坐标:
$A(-m,s),B(-t,n),C(t,n),D(m,s),E(m,-s),F(t,-n),G(-t,-n),H(-m,-s)$
我们通过消元也可以很容易得到:
$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*m^8-4*a^4*(a^2+5*b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*m^6+2*a^6*(6*a^4*b^2-21*a^2*b^4+16*b^6+3*a^6)*m^4-$
$4*a^8*(a^4*b^2+4*b^6+a^6-4*a^2*b^4)*m^2+a^16=0$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*n^8-4*b^4*(5*a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*n^6+2*b^6*(6*a^2*b^4-21*a^4*b^2+16*a^6+3*b^6)*n^4-$
$4*b^8*(a^2*b^4+4*a^6+b^6-4*a^4*b^2)*n^2+b^16=0$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*s^8-4*b^4*(a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*s^6+2*b^8*(3*b^4+3*a^4-2*a^2*b^2)*s^4-$
$4*b^12*(a^2+b^2)*s^2+b^16=0$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*t^8-4*a^4*(a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*t^6+2*a^8*(3*b^4+3*a^4-2*a^2*b^2)*t^4-$
$4*a^12*(a^2+b^2)*t^2+a^16=0$

则$L(8)=4*(sqrt((-t+m)^2+(s-n)^2)+t+s)$

数学星空

对于$N=3,$我们可以得到一般性的答案:
已知内接于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的周长$L$最小的三角形一个点$A(x0,y0)$
我们知道必外切于椭圆:$x^2/m^2+y^2/n^2=1$且
$m=a*(sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)-b^2)/(a^2-b^2)$,
$n=b*(a^2-sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2))/(a^2-b^2)$
$(2*a^2*b^2-3*a^4-3*b^4+4*a^4*b^4)*L^4-(24*(a^2+b^2))*$
$(-2*a^4+3*a^4*b^4+2*a^2*b^2-2*b^4)*L^2+144*a^4*b^4*(a^2*b^2+2)^2=0$
三角形的另外两点为$B(x1,y1),C(x2,y2)$我们进一步可以算得(已知$x0$,求$x1,x2$)
$-16*a^6*b^8*m^4*x0^2+24*a^8*b^6*m^2*n^2*x0^2-24*a^8*b^4*m^2*n^4*x0^2+(-8*a^4*b^8*m^6+8*a^4*b^6*m^6*n^2+24*b^6*m^2*a^8*n^2-$
$24*a^8*b^4*m^2*n^4+8*a^8*b^2*m^2*n^6-8*a^8*b^8*m^2-16*a^6*b^8*m^4-2*b^8*a^8*x0^2-2*b^8*m^8*x0^2-8*b^8*m^6*x0^4-$
$16*b^4*a^6*m^4*n^4+8*b^6*a^6*n^2*x0^4-8*b^6*a^8*n^2*x0^2+20*b^8*a^4*m^4*x0^2-8*b^8*a^4*m^2*x0^4+20*b^4*a^8*n^4*x0^2-$
$16*b^4*a^6*n^4*x0^4+8*b^2*a^6*n^6*x0^4-8*b^2*a^8*n^6*x0^2+24*b^8*a^2*m^6*x0^2-16*b^8*a^2*m^4*x0^4-2*a^8*n^8*x0^2+$
$24*b^8*a^6*m^2*x0^2-24*b^4*a^4*m^2*n^4*x0^4-8*b^6*a^2*m^6*n^2*x0^2-8*b^2*a^6*m^2*n^6*x0^2+32*b^6*a^4*m^2*n^2*x0^4-$
$56*b^6*a^4*m^4*n^2*x0^2-56*b^6*a^6*m^2*n^2*x0^2+24*b^6*a^2*m^4*n^2*x0^4+40*b^4*a^6*m^2*n^4*x0^2+20*b^4*a^4*m^4*n^4*x0^2+$
$32*a^6*b^6*m^4*n^2)*x^2+(a^4*b^4+b^4*m^4+n^4*a^4-2*b^2*m^2*n^2*a^2-4*b^4*m^2*x0^2+2*b^4*m^2*a^2+4*n^2*a^2*b^2*x0^2-$
$2*n^2*a^4*b^2)^2*x^4+32*a^6*b^6*m^4*n^2*x0^2+16*a^8*b^4*m^4*n^4+6*a^8*b^4*n^4*x0^4-32*a^8*b^6*m^4*n^2+16*a^8*b^8*m^4-$
$8*a^4*b^8*m^6*x0^2-8*a^8*b^8*m^2*x0^2+6*a^4*b^8*m^4*x0^4-12*a^6*b^6*m^2*n^2*x0^4-4*a^8*b^6*n^2*x0^4-$
$4*a^8*b^2*n^6*x0^4+a^8*n^8*x0^4+4*a^6*b^8*m^2*x0^4+4*a^2*b^8*m^6*x0^4+b^8*m^8*x0^4+b^8*a^8*x0^4-$
$16*a^6*b^4*m^4*n^4*x0^2+12*a^6*b^4*m^2*n^4*x0^4-4*a^6*b^2*m^2*n^6*x0^4-12*a^4*b^6*m^4*n^2*x0^4+6*a^4*b^4*m^4*n^4*x0^4-$
$4*a^2*b^6*m^6*n^2*x0^4+8*b^6*a^4*m^6*n^2*x0^2+8*b^2*a^8*m^2*n^6*x0^2=0$
注$x1,x2$为以上方程的两个实根.
$(x0,y0)$的斜率$k$满足:
$a^4*(m-x0)^2*(m+x0)^2*k^4-2*a^2*(-a^2*m^2*n^2+a^2*b^2*x0^2-m^2*b^2*x0^2+a^2*x0^2*n^2+a^2*m^2*b^2-b^2*x0^4)*k^2+$
$(-a^2*n^2-b^2*x0^2+a^2*b^2)^2=0$
则$AB=|x1-x0|*sqrt(1+k^2),$
另外两边$AC,BC$可以类似得到

注: $(x0)^2/a^2+(y0)^2/b^2=1,(x1)^2/a^2+(y1)^2/b^2=1,(x2)^2/a^2+(y2)^2/b^2=1, AB+AC+BC=L$
http://bbs.cnool.net/topic_show. ... 240&flag=topic1  中黄利兵老师有很精彩的解析....

数学星空

对于楼上的反问题:
即$11#$的陈都公式,经数据检验并不正确:
例:对于内接椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,及外切椭圆$x^2/m^2+y^2/n^2=1$,
取特殊的三角形$ABC$(内接周长最短,设各边长为$a1,b1,c1)(-a,0),$及
$a=2,b=1,n=4/3-(1/3)*sqrt(13)=0.131482908, m=(2/3)*sqrt(13)-2/3=1.737034183$.........(1)
$a1 = sqrt(7+2*sqrt(13)), b1= (2/3)*sqrt(-5+2*sqrt(13)), c1 = sqrt(7+2*sqrt(13))$
将$a1,b1,c1$代入$11#$公式$(a1=a,b1=b,c1=c)$得到
$m=(1/18)*sqrt(106+44*sqrt(13)-8*sqrt(57+42*sqrt(13)))+(1/18)*sqrt(106+44*sqrt(13)+8*sqrt(57+42*sqrt(13)))=1.76165480852,$
$n= -(1/18)*sqrt(106+44*sqrt(13)-8*sqrt(57+42*sqrt(13)))+(1/18)*sqrt(106+44*sqrt(13)+8*sqrt(57+42*sqrt(13)))=0.404704057483 $
显然与前面的$m,n$值不符

数学星空

对于反问题,我们有结果:
已知最短周长的三角形三边长分别为$a1,b1,c1,$求内接椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1,$外切椭圆$x^2/m^2+y^2/n^2=1,$的半轴长$(a,b),(m,n)$
$(-2*a1*b1+b1^2+c1^2+a1^2-2*c1*a1-2*b1*c1)^3*a^4+2*a1*b1*c1*(-2*a1*b1+b1^2+c1^2+a1^2-2*c1*a1-2*b1*c1)*(b1^3-b1^2*a1-b1^2*c1-a1^2*b1-b1*c1^2-$
$a1^2*c1+a1^3-c1^2*a1+c1^3)*a^2+a1^2*b1^2*c1^2*(a1+b1-c1)*(c1+a1+b1)*(a1+c1-b1)*(-b1-c1+a1)=0$............................................................................(1)

$16*(-2*a1*b1+b1^2+c1^2+a1^2-2*c1*a1-2*b1*c1)^3*m^4+(8*(-2*a1*b1+b1^2+c1^2+a1^2-2*c1*a1-2*b1*c1))*(b1^6-2*b1^5*c1-2*b1^5*a1+2*a1*b1^4*c1-$
$b1^4*a1^2-b1^4*c1^2+4*a1^3*b1^3+4*b1^3*c1^3-6*a1^2*b1^2*c1^2-a1^4*b1^2-c1^4*b1^2+2*a1^4*b1*c1+2*a1*c1^4*b1-2*a1^5*b1-2*c1^5*b1+a1^6-$
$a1^4*c1^2+c1^6-c1^4*a1^2+4*a1^3*c1^3-2*a1^5*c1-2*c1^5*a1)*m^2+(c1+a1+b1)*(a1+b1-c1)^3*(-b1-c1+a1)^3*(a1+c1-b1)^3=0$.....................................(2)

其中$a,b,$为(1)的两个正实根,$m,n$为(2)的两个正实根.

数学星空

由于在已知两个椭圆(内接和外切)中,三角形的三个顶点在内接椭圆的位置是唯一的,如何寻求第一个顶点的坐标也是有必要的
由于消元表达式太庞大,现只给出方程来求三角形顶点坐标$(x0,y0),(x1,y1)$
$(-y1+y0)^2*m^2+(y0*x1+n*x0-n*x1-y1*x0)*(-y0*x1+n*x0-n*x1+y1*x0) = 0$.......(1)
$b^2*x0^2+a^2*y0^2-a^2*b^2=0$........................................................................(2)
$b^2*x1^2+a^2*y1^2-a^2*b^2=0$.........................................................................(3)
$a1^2-((x1-x0)^2+(y1-y0)^2)=0$............................................................................(4)
我们可以利用$(1),(2),(3),(4)$求出两个顶点$A(x0,y0),B(x1,y1)$