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楼主: 数学星空

[转载] 椭圆内接n边形周长最大值

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 楼主| 发表于 2011-11-5 10:39:15 | 显示全部楼层
对于n=3很早就有了很深入的讨论和研究:
例如:http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html
以下见陈都心距公式:
陈都心距公式.jpg

点评

星空老师:这个是三角形的内切、外接Steiner椭圆,不是光反射椭圆。  发表于 2023-4-24 11:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-11-19 09:43:06 | 显示全部楼层
孙老师提出的问题(求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内接n边形的周长的最大值L

(n)?),的确很有难度,而且很有意义。昨晚用比较顺路的极坐标方法试了一下,仍然不得要领。

您借助功能强大的数学软件导出了一大堆令人恐怖的算式,别开生面,也许是解决这个问题的捷径。最

好还是请何先生((hejoseph)现身说法吧。

我也有一个问题,十多年了,一直没有解决。向孙老师和各位老师请教:

命题  设四面体的外接球(O, R),内切球(I, r),则OI^2=R^2-3Rr.

上列公式对吗?如果不对,请给出正确公式?谢谢!

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数学星空 + 2 + 2 多谢参与讨论,我不是孙老师哈....

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发表于 2011-11-19 10:09:13 | 显示全部楼层
12# chendu
这个计算量也不小,有兴趣的话,可以用软件算一算:
设四面体的其中一顶点是坐标原点,a,b,c分别是另外三个顶点对应的矢径,O是外接球的圆心对应的矢径,I是内切球的圆心对应的矢径

O.png
I.png
RR.png
r.png
V.png

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数学星空 + 2 + 2 + 2 + 2 很有价值的表达式,不知能否提供相关资料,多 ...

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发表于 2011-11-19 17:46:26 | 显示全部楼层
谢谢wayne老师的赐教!
空间向量法应该是解决这个问题的最佳方法(记得Euler推导四面体外接球半径公式,就用这种方法)之一。我曾用(体积)重心坐标做这个题,总是不能突破运算的难关。老师的方法,思路简捷,结果可望却不可及,真郁闷!
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发表于 2011-11-20 08:22:28 | 显示全部楼层
命题  设四面体的外接球(O, R),内切球(I, r),则OI2=R2-3Rr.    (*)

上列公式对吗?如果不对,敬请孙老师、wayne老师等深谙计算软件的老师给出正确公式。谢谢!

“2→3”的启迪

Euler不等式  设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.

Euler不等式的三维推广 设四面体的外接球半径为R,内切球半径为r,则R≥3r.

Soddy定理  半径为a、b、c、d的四个圆两两相切,则有
1/a2+1/b2+1/c2+1/d2=(1/2)*(1/a+1/b+1/c+1/d)2

Soddy定理的三维推广  半径为a、b、c、d、e的五个球两两相切,则有
1/a2+1/b2+1/c2+1/d2+1/e2=(1/3)*(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)2

】①Frederick Soddy(1877一1956),英国著名化学家,1921年荣获诺贝尔化学奖。②将三角形中的关系式(等式或不等式)推广到四面体时,似乎有一个伴随的普遍现象:2→3. ③类比三角形中著名的Euler外心O(R)-内心I(r)距离公式(OI2=R2-2Rr ),我希望公式(*)是对的。
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 楼主| 发表于 2011-11-20 12:19:09 | 显示全部楼层
13#  wayne:
设$a=a1*i+a2*j+a3*k,b=b1*i+b2*j+b3*k,c=c1*i+c2*j+c3*k,i^2=j^2=k^2=-1$
请给出以上各个表达式的展开式?
主要是$OI,R,r$的代数表达式(取长度)....
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发表于 2011-11-20 20:00:11 | 显示全部楼层
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发表于 2011-12-2 20:15:51 | 显示全部楼层
四面体的Euler线
――欢迎渐行渐近的“四面体几何学”


1.四面体的外心O:四面体的外接圆心。

2.四面体的重心G:四面体顶点与对应面(三角形)的重心的连线的交点。(也可定义为向量OG=(1/4)*∑向量OA)

3.四面体的蒙日点M:作四面体的六条棱的中垂面,这六个平面交于一点,称该点为四面体的蒙日点M.
四面体的四条高线位于一个直纹二次曲面――直圆锥面或单叶双曲面上,其中心恰为M。(黄利兵老师很想确定这个直纹二次曲面的对称轴的位置,比如与Euler线的夹角,这是一个难题)
熊曾润教授定义的四面体的Euler球心E(向量OE=(1/2)*∑向量OA)即为蒙日点M。

4.四面体的12点球心T:四面体的蒙日点与四顶点连线的中点,这四个中点在对应面上的四个投影点,四个面(三角形)的重心,一共12点,位于一个球面上。称这个球为12点球,其中心叫12点球心。 12点球的半径为四面体外接球半径的1/3.
四面体的12点球心T也是以其四面重心为顶点的四面体的外心。
熊曾润教授定义的四面体的推广Prouhet球S(P,R/3)即为上述12点球(T,R/3)。向量OT=(1/3)*∑向量OA .

5.四面体的伪垂心H:设四面体ABCD的外接球心为O,若点H满足:向量OH=∑向量OA,则称点H为四面体的伪垂心。
四面体的外心关于蒙日点的对称点即为伪垂心。

结论  四面体的外心O、G、12点球心T、蒙日点M和伪垂心H位于一条直线――四面体的Euler线上,且2OG=6GT=3TM=MH .

另外, 设四面体某面的三条棱长分别为a、b、c,其对棱长依次为x、y、z,外接球半径为R,四面体外心O与伪垂心H之距为d,则
                  d2=16R2-(a2+x2+b2+y2+c2+z2)                (*)

这是△ABC的外心-垂心距离公式(d2=9R2-a2-b2-c2)的自然推广。根据公式(*),四面体Euler线上的五个特殊点――外心O、重心G、12点球心T、蒙日点M和伪垂心H之间的距离随之确定(4OG=3OT=2OM=d)。

本文主要根据黄利兵、熊曾润等教授的文章综合而成。熊教授借助简单的向量工具,经过简明的论述和简捷的推导,把三角形中许多重要概念、定理“移植”到四面体中,不过,由于不了解国外对这一课题的研究情况,有些工作可能重复了。

这些推广(包括向n维单形和n维共球有限点集推广)似乎都在意料之中,不能使人惊叹。只是觉得四面体的外心-内心距离公式(待求)极具挑战性,吸引力!值得大家去探究……

可喜的是,本论坛的各位老师均是爱做难题、善解难题的高手。


推导没难度,攻克无喜悦;结论不新奇,赏析少惊诧。
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 楼主| 发表于 2011-12-4 13:26:56 | 显示全部楼层
对于12#的
命题  设四面体的外接球$(O1,R)$,内切球$(I,r)$,则$O1I^2=R^2-3*R*r$.
我们可以结合符号与数值计算似乎可以得到命题不成立
为了便于计算:我们设$O(0,0,0),A(a,0,0),B(b1,b2,0),C(c1,c2,c3),O1(x1,x2,x3),I(y1,y2,y3)$
通过符号计算我们有:
$r^2*(c2^2+c3^2)-(y2*c3-r*c2)^2=0$........................................................................................................................................................(1)
$r^2*(b2^2*c3^2+b1^2*c3^2+(b1*c2-b2*c1)^2)-(b2*c3*y1-b1*c3*y2+(b1*c2-b2*c1)*r)^2=0$.....................................................................(2)
$r^2*(b2^2*c3^2+(a*c3-b1*c3)^2+(b1*c2+a*b2-a*c2-b2*c1)^2)=(b2*c3*y1+(a*c3-b1*c3)*y2+(b1*c2+a*b2-a*c2-b2*c1)*r-a*b2*c3)^2$.......(3)

$R^2-(a/2)^2-x2^2-x3^2=0$.............................(4)
$R^2-(a/2-b1)^2-(x2-b2)^2-x3^2=0$.................(5)
$R^2-(a/2-c1)^2-(x2-c2)^2-(x3-c3)^2=0$...........(6)

注意:$y3=r, x1=a/2$
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 楼主| 发表于 2011-12-4 13:32:36 | 显示全部楼层
取特殊值:$a = 3, b1 = 2, b2 = 4, c1 = 3, c2 = 4, c3 = 5$
代入(1),(2),(3)得到:$r = 0.80080, y1 = 1.9027, y2 = 1.6663$
代入(4),(5),(6)得到:$R = 3.5500, x2 = 1.7500, x3 = 2.7000$
则$IO1=sqrt((x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2)=1.9431$
有:$IO1^2-(R^2-3*R*r)=-0.29834239$
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