椭圆内接n边形周长最大值

数学星空

对于n=3很早就有了很深入的讨论和研究: 例如:http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html 以下见陈都心距公式:

chendu

孙老师提出的问题（求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内接n边形的周长的最大值L （n）？），的确很有难度，而且很有意义。昨晚用比较顺路的极坐标方法试了一下，仍然不得要领。 您借助功能强大的数学软件导出了一大堆令人恐怖的算式，别开生面，也许是解决这个问题的捷径。最 好还是请何先生（(hejoseph）现身说法吧。 我也有一个问题，十多年了，一直没有解决。向孙老师和各位老师请教： 命题 设四面体的外接球（O, R），内切球（I, r），则OI^2＝Ｒ^2－3Rr． 上列公式对吗？如果不对，请给出正确公式？谢谢！

wayne

12# chendu
这个计算量也不小，有兴趣的话，可以用软件算一算：
设四面体的其中一顶点是坐标原点，a,b,c分别是另外三个顶点对应的矢径，O是外接球的圆心对应的矢径，I是内切球的圆心对应的矢径

chendu

谢谢wayne老师的赐教！ 空间向量法应该是解决这个问题的最佳方法(记得Euler推导四面体外接球半径公式，就用这种方法)之一。我曾用（体积）重心坐标做这个题，总是不能突破运算的难关。老师的方法，思路简捷，结果可望却不可及，真郁闷！

chendu

命题  设四面体的外接球（O, R），内切球（I, r），则OI²＝R²－3Rr．　　　　（＊）

上列公式对吗？如果不对，敬请孙老师、wayne老师等深谙计算软件的老师给出正确公式。谢谢！

“2→3”的启迪

Euler不等式  设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，则R≥２r．

Euler不等式的三维推广　设四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则R≥３r．

Soddy定理  半径为a、b、c、d的四个圆两两相切，则有
1/a²＋1/b²＋1/c²＋1/d²＝（1/2）*（1/a＋1/b＋1/c＋1/d）²．

Soddy定理的三维推广  半径为a、b、c、d、e的五个球两两相切，则有
1/a²＋1/b²＋1/c²＋1/d²＋1/e²＝（1/3）*（1/a＋1/b＋1/c＋1/d＋1/e）²．

【注】①Frederick Soddy(1877一1956)，英国著名化学家，1921年荣获诺贝尔化学奖。②将三角形中的关系式（等式或不等式）推广到四面体时，似乎有一个伴随的普遍现象：2→3. ③类比三角形中著名的Euler外心O(R)－内心I(r)距离公式（OI²＝R²－2Rr ），我希望公式（＊）是对的。

数学星空

13# wayne: 设$a=a1*i+a2*j+a3*k,b=b1*i+b2*j+b3*k,c=c1*i+c2*j+c3*k,i^2=j^2=k^2=-1$ 请给出以上各个表达式的展开式? 主要是$OI,R,r$的代数表达式(取长度)....

wayne

16# 数学星空 摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

chendu

四面体的Euler线
――欢迎渐行渐近的“四面体几何学”

1.四面体的外心O：四面体的外接圆心。

2.四面体的重心G：四面体顶点与对应面（三角形）的重心的连线的交点。（也可定义为向量ＯG＝(1/4)*∑向量OA）

3.四面体的蒙日点Ｍ：作四面体的六条棱的中垂面，这六个平面交于一点，称该点为四面体的蒙日点Ｍ.
四面体的四条高线位于一个直纹二次曲面――直圆锥面或单叶双曲面上，其中心恰为Ｍ。（黄利兵老师很想确定这个直纹二次曲面的对称轴的位置，比如与Euler线的夹角，这是一个难题）
熊曾润教授定义的四面体的Euler球心E（向量ＯE＝(1/2)*∑向量OA）即为蒙日点Ｍ。

4.四面体的12点球心T：四面体的蒙日点与四顶点连线的中点，这四个中点在对应面上的四个投影点，四个面（三角形）的重心，一共12点，位于一个球面上。称这个球为12点球，其中心叫12点球心。 12点球的半径为四面体外接球半径的1/3.
四面体的12点球心T也是以其四面重心为顶点的四面体的外心。
熊曾润教授定义的四面体的推广Prouhet球S(P,R/3)即为上述12点球(T,R/3)。向量OT＝(1/3)*∑向量OA .

5.四面体的伪垂心H：设四面体ABCD的外接球心为O，若点H满足：向量OH＝∑向量OA，则称点H为四面体的伪垂心。
四面体的外心关于蒙日点的对称点即为伪垂心。

结论  四面体的外心O、G、12点球心T、蒙日点Ｍ和伪垂心H位于一条直线――四面体的Euler线上，且2OG＝6GT＝3TＭ＝ＭH .

另外， 设四面体某面的三条棱长分别为a、b、c，其对棱长依次为x、y、z，外接球半径为R，四面体外心O与伪垂心H之距为d，则
                  d²＝16R²－(a²＋x²＋b²＋y²＋c²＋z²)                （*）

这是△ABC的外心－垂心距离公式（d²＝9R²－a²－b²－c²）的自然推广。根据公式（*），四面体Euler线上的五个特殊点――外心O、重心G、12点球心T、蒙日点Ｍ和伪垂心H之间的距离随之确定（4OG=3OT=2OM=d）。

本文主要根据黄利兵、熊曾润等教授的文章综合而成。熊教授借助简单的向量工具，经过简明的论述和简捷的推导，把三角形中许多重要概念、定理“移植”到四面体中，不过，由于不了解国外对这一课题的研究情况，有些工作可能重复了。

这些推广（包括向n维单形和n维共球有限点集推广）似乎都在意料之中，不能使人惊叹。只是觉得四面体的外心－内心距离公式（待求）极具挑战性，吸引力！值得大家去探究……

可喜的是，本论坛的各位老师均是爱做难题、善解难题的高手。

推导没难度，攻克无喜悦；结论不新奇，赏析少惊诧。

数学星空

对于12#的
命题  设四面体的外接球$(O1,R)$,内切球$(I,r)$,则$O1I^2=R^2-3*R*r$．
我们可以结合符号与数值计算似乎可以得到命题不成立
为了便于计算:我们设$O(0,0,0),A(a,0,0),B(b1,b2,0),C(c1,c2,c3),O1(x1,x2,x3),I(y1,y2,y3)$
通过符号计算我们有:
$r^2*(c2^2+c3^2)-(y2*c3-r*c2)^2=0$........................................................................................................................................................(1)
$r^2*(b2^2*c3^2+b1^2*c3^2+(b1*c2-b2*c1)^2)-(b2*c3*y1-b1*c3*y2+(b1*c2-b2*c1)*r)^2=0$.....................................................................(2)
$r^2*(b2^2*c3^2+(a*c3-b1*c3)^2+(b1*c2+a*b2-a*c2-b2*c1)^2)=(b2*c3*y1+(a*c3-b1*c3)*y2+(b1*c2+a*b2-a*c2-b2*c1)*r-a*b2*c3)^2$.......(3)

$R^2-(a/2)^2-x2^2-x3^2=0$.............................(4)
$R^2-(a/2-b1)^2-(x2-b2)^2-x3^2=0$.................(5)
$R^2-(a/2-c1)^2-(x2-c2)^2-(x3-c3)^2=0$...........(6)

注意:$y3=r, x1=a/2$

数学星空

取特殊值:$a = 3, b1 = 2, b2 = 4, c1 = 3, c2 = 4, c3 = 5$
代入(1),(2),(3)得到:$r = 0.80080, y1 = 1.9027, y2 = 1.6663$
代入(4),(5),(6)得到:$R = 3.5500, x2 = 1.7500, x3 = 2.7000$
则$IO1=sqrt((x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2)=1.9431$
有:$IO1^2-(R^2-3*R*r)=-0.29834239$