椭圆内接n边形周长最大值

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求椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$内接$n$边形周长最大值$L(n)$?

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在http://bbs.emath.ac.cn/thread-295026-1-1.html中详细讨论. 得到:$L(3)=2*sqrt(3)*(a^2+b^2+D)/sqrt(a^2+b^2+2*D),D=sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)$

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对内接n边形并且有结论:
P是已知椭圆上的一点,以P为一顶点且内接于椭圆的n边形中,有且仅有一个周长最长的,记作n(P),它由下面的2个等价的条件之一决定:
(1)n(P)的全部顶点都具有光反射特性.
(2)n(P)外切于某个与椭圆同焦点的另一个椭圆上.

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我们现在讨论是能否给出L(n)的表达式,可以试着用方程的根来表示? 先可以从L(4)开始....

hujunhua

按照链结中所给出的结果，应该有$L(4)=4sqrt{a^2+b^2}$

hujunhua

那个链结中全都是恐怖的解析几何证明，真是叫人望而生畏。

作者一开始进行了那么多的摸索和试探，看着叫人着急。400年前费玛就知道，不仅对于椭圆，对于任意卵形线，那些周长最大的内接多边形都是反射封闭光路。文章要是从这里出发，探索反射封闭多边形有一个同焦内切椭圆（3#的结论2）就精炼多了。

链结中有一个命题对于证明内切椭圆十分有用：椭圆外一点向椭圆的张角与向椭圆两焦点的张角同角平分线。
如图：两条切线PA，PB是椭圆切线，那么∠APF₁=∠BPF₂

证明：作`PF_1`关于切线`PA`的镜像`PC`，和`PF_2`;关于切线`PB`的镜像`PD`，
易知`A,C,F_2`共线，`B,D,F_1`共线，并且`CF_2=DF_1=2a`(椭圆长轴)
所以`△PCF_2≌ΔPDF_1`（余略）

hujunhua

在上图中，将F₁PF₂想象为一根绷直的绳，两端扎紧在小孔F₁和F₂中，P为一个半径无穷小的张紧轮。当轮P在绳上滚动时，其轨迹形成了椭圆最经典的定义。

现在，用一个比椭圆周长长一些的绳圈套在上图的椭圆上，也用一个张紧轮P将松松垮垮的绳子绷紧，绳子绷直的两段与椭圆相切于A、B处。当轮P在绳子上滚动时，其轨迹是什么？

答案很不新鲜：也是以F₁和F₂为焦点的椭圆.

gxqcn

语言不失幽默诙谐，而且让人很长见识，不简单啊。

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经过计算分析:
我们可以先计算外切椭圆$x^2/(a1)^2+y^2/(b1)^2=1$的半径$a1,b1$
剩下的我们就可以借助其它绘图软件快速的计算其它的几何量
对$n=3$有
$(b^4+2*b^2*a^2-3*a^4)*a1^4+(-6*b^2*a^4+6*a^6)*a1^2-3*a^8+4*b^2*a^6=0$
$(b^4+2*b^2*a^2-3*a^4)*b1^4+(-2*b^6-2*a^2*b^4+4*b^2*a^4)*b1^2+b^8=0$
对$n=4$有
$(b^8+a^8-2*a^4*b^4)*a1^8+(-4*a^10-4*a^2*b^8-4*b^6*a^4+4*b^2*a^8+8*b^4*a^6)*a1^6+(-6*a^8*b^4$
$+12*b^6*a^6-12*b^2*a^10+4*a^4*b^8+6*a^12)*a1^4+(-4*a^14-8*b^6*a^8+12*b^2*a^12-4*b^4*a^10)*a1^2+a^16-4*b^2*a^14+4*b^4*a^12=0$
$(b^8+a^8-2*a^4*b^4)*b1^8+(4*b^6*a^4-4*b^10)*b1^6+(-2*a^4*b^8+6*b^12)*b1^4-4*b^14*b1^2+b^16=0$
对$n=5$有
$ (-3*b^4*a^2+b^6+3*b^2*a^4-a^6)*a1^6+(2*b^6*a-6*b^2*a^5+4*b^4*a^3)*a1^5+(-4*b^6*a^2-6*b^2*a^6+7*b^4*a^4+3*a^8)*a1^4+$      
$(-12*b^4*a^5+12*b^2*a^7)*a1^3+(-4*b^4*a^6-3*a^10+3*b^2*a^8)*a1^2+(8*b^4*a^7-6*b^2*a^9)*a1+a^12=0$
$(-3*b^4*a^2+b^6+3*b^2*a^4-a^6)*b1^6+(6*b^5*a^2-4*b^3*a^4-2*b*a^6)*b1^5+(6*b^6*a^2-7*b^4*a^4+4*b^2*a^6-3*b^8)*b1^4+$      
$(-12*b^7*a^2+12*b^5*a^4)*b1^3+(3*b^10-3*b^8*a^2+4*b^6*a^4)*b1^2+(6*b^9*a^2-8*b^7*a^4)*b1-b^12=0$
对$n=6$有
$(-b^2-2*b*a-a^2)*a1^2+2*b*a^3+a^4=0$
$(100*a^4*b^12+a^16-96*a^6*b^10+9*b^16-48*a^2*b^14+30*a^8*b^8+16*a^10*b^6-12*a^12*b^4)*b1^16+(928*a^6*b^12-$        
$952*a^4*b^14+432*a^2*b^16+56*a^12*b^6-72*b^18-312*a^8*b^10-80*a^10*b^8)*b1^14+(-1680*a^2*b^18-108*a^12*b^8+$        
$144*b^10*a^10-3968*a^6*b^14+3964*a^4*b^16+252*b^20+1396*a^8*b^12)*b1^12+(3696*a^2*b^20+96*a^12*b^10-9392*a^4*b^18-$         
$3576*a^8*b^14-504*b^22+9792*a^6*b^16-112*a^10*b^12)*b1^10+(-32*a^12*b^12-15200*a^6*b^18+630*b^24+13820*a^4*b^20- $  
$5040*a^2*b^22+5790*a^8*b^16+32*a^10*b^14)*b1^8+(-12920*a^4*b^22-6080*a^8*b^18+4368*a^2*b^24+15136*a^6*b^20-504*b^26)*b1^6+$      
$(4032*a^8*b^20-2352*a^2*b^26-9408*a^6*b^22+252*b^28+7492*a^4*b^24)*b1^4+(-1536*a^8*b^22-72*b^30+3328*a^6*b^24-2464*a^4*b^26+$      
$720*a^2*b^28)*b1^2+256*a^8*b^24-96*a^2*b^30-512*a^6*b^26+9*b^32+352*a^4*b^28=0$

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由于与椭圆$x^2/(a1)^2+y^2/(b1)^2=1$,外切的直线$y=y1+k*(x-x1)$
必须满足:$((a1)^2-(x1)^2)*k^2+2*(x1)*(y1)*k+((b1)^2-(y1)^2)=0$
对于n边形通过化简我们可得到如下方程:
$(b^2*a^2*s^2-b^2*(a1)^2*s^2-(b1)^2*a^2)*r^2+2*(b^2*(a1)^2+b^2*a^2-(b1)^2*a^2)*s*r+(b1)^2*a^2*s^2+b^2*a^2-b^2*(a1)^2=0$...(1)
$(b^2*a^2*t^2-b^2*(a1)^2*t^2-(b1)^2*a^2)*s^2+2*(b^2*(a1)^2+b^2*a^2-(b1)^2*a^2)*s*t+(b1)^2*a^2*t^2+b^2*a^2-b^2*(a1)^2=0$.......(2)
$(b^2*a^2*m^2-b^2*(a1)^2*m^2-(b1)^2*a^2)*t^2+2*(b^2*(a1)^2+b^2*a^2-(b1)^2*a^2)*m*t+(b1)^2*a^2*m^2+b^2*a^2-b^2*(a1)^2=0$..(3)
$(b^2*a^2*n^2-b^2*(a1)^2*n^2-(b1)^2*a^2)*m^2+2*(b^2*(a1)^2+b^2*a^2-(b1)^2*a^2)*m*n+(b1)^2*a^2*n^2+b^2*a^2-b^2*(a1)^2=0$...(4)
...
$(b^2*a^2*r^2-b^2*(a1)^2*r^2-(b1)^2*a^2)*p^2+2*(b^2*(a1)^2+b^2*a^2-(b1)^2*a^2)*p*r+(b1)^2*a^2*r^2+b^2*a^2-b^2*(a1)^2=0$.........(n)
对于如上方程组,我们作了如下代换:
$x1=a*(1-r^2)/(1+r^2),y1=b*(2*r)/(1+r^2)$....(1)
$x2=a*(1-s^2)/(1+s^2),y2=b*(2*s)/(1+s^2)$......(2)
$x3=a*(1-t^2)/(1+t^2),y3=b*(2*t)/(1+t^2)$......(3)
$x4=a*(1-m^2)/(1+m^2),y4=b*(2*m)/(1+m^2)$..(4)
$x5=a*(1-n^2)/(1+n^2),y5=b*(2*n)/(1+n^2)$.....(5)
.....
$xn=a*(1-p^2)/(1+p^2),yn=b*(2*p)/(1+p^2)$......(n)
由于任意点都存在满足条件的n边形,为了方便计算,可以取特殊点$(r=0,x1=a,y1=0)$
由于$x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1$与$x^2/(a1)^2+y^2/(b1)^2=1$
共焦点,则有$a^2-b^2=a1^2-b1^2$这样我们可以计算所有的参数

注:n边形n个顶点的坐标即为(x1,x1),(x2,y2),(x3,y3),....,(xn,yn),均可以通过消元以上方程得到
但是表达成(a,b)的代数方程很庞大,不便于应用...