求外接圆的半径

zuijianqiugen

如图，已知：
（1）椭圆①：\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\),（2）圆②：\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\),（3）椭圆①的外切四边形是圆②的内接四边形

求：圆②的半径R=?

mathe

我们知道对于双心四边形有现成的结论，好象是1/r^2=1/(R-x)^2+1/(R+x)^2.
所以只要找到一个射影变换将椭圆和圆变成两个圆即可。当然，直接找变换会比较困难。但是我们可以反过来，将两个圆变换成圆和椭圆（比如其中一个是单位圆，在变换中保持不变）。而结论显然只会同圆和椭圆中心距离，椭圆两轴长度有关系

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-18 19:34
我们知道对于双心四边形有现成的结论，好象是1/r^2=1/(R-x)^2+1/(R+x)^2.
所以只要找到一个射影变换将椭圆 ...

1/r^2=1/(R-x)^2+1/(R+x)^2是双圆四边形的心距公式。
问题在于什么变换能将两个圆变换成圆和椭圆？

mathe

对于二次曲线ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0,可以写成矩阵 [a,b,d;b,c,e;d,ef];对这个系数矩阵用可逆矩阵进行合同变换就是一个射影变换。

mathe

由于单位圆是C=[1,0,0;0,1,0;0,0,1].我们可以选择数c^2+s^2=1,h^2=f^2+1,设矩阵P=[hc,-s,fc;hs,v,fs;f,0,h]

mathe

那么合同变换PCP'=C,也就是保持单位圆到本身。我们只有选择双心四边行一个圆为单位圆，计算另一个圆在P变换后的长短轴，方向和中心位置即可

mathe

不过计算结果好像挺复杂的

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-18 20:41
不过计算结果好像挺复杂的

本人也觉得此题看似简单，计算却很复杂，可能是方法问题。

mathe

结果不一定简单

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-18 20:41
不过计算结果好像挺复杂的

复杂不复杂不要紧，能否把计算结果让大家看看？