求外接圆的半径

mathe

请自己用计算机帮忙符号计算一下，我这里没有好的工具

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-18 20:55
请自己用计算机帮忙符号计算一下，我这里没有好的工具

（1）当y₀=0时，R²=a²+x₀²+√[b⁴+(2ax₀)²]
（2）当x₀=0时，R²=b²+y₀²+√[a⁴+(2by₀)²]

mathe

还有另外一种思路，对于两个椭圆，同样可以将它们表示为三阶可逆对称阵\(A,B\)。然后我们可以计算\(A^{-1}B\)的特征点，把这三个特征点看成平面上点的射影坐标，其中一个点在两椭圆内部，另外两点在这个点关于两椭圆的公共极线上。我们作射影变换将此公共极线变化为无穷远直线，图形变化为两个有公共中心的椭圆，再仿射可将其中外面一个变成圆。于是这时显然圆的直径平方是椭圆长轴和短轴的平方和，然后逆推

mathe

上面计算中特征方程是三次的，当然如果x0或y0是0，方程就可以因子分解，所以结论会简单很多

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 09:06
上面计算中特征方程是三次的，当然如果x0或y0是0，方程就可以因子分解，所以结论会简单很多

能否将“三次的特征方程”公布出来？让大家看看。

数学星空

根据平面几何的斜率公式可以得到：

\(\frac{\sin(\beta)-\sin(\alpha)}{\cos(\beta)-\cos(\alpha)}+\frac{b\cos(t)}{a\sin(t)}=0\)

\(\frac{b\sin(t)-r\sin(\beta)-y_0}{a\cos(t)-r\cos(\beta)-x_0}+\frac{b\cos(t)}{a\sin(t)}=0\)

可以设

\(\sin(\beta)=\frac{2m}{m^2+1},\cos(\beta)=\frac{-m^2+1}{m^2+1}\)

\(\sin(\alpha)=\frac{2n}{n^2+1},\cos(\alpha)=\frac{-n^2+1}{n^2+1}\)

\(\sin(t) = \frac{2k}{k^2+1},\cos(t)=\frac{-k^2+1}{k^2+1}\)

代入消元\(k\)得到：

\(a^2m^2n^2-m^2n^2r^2+2m^2n^2rx_0-m^2n^2x_0^2-2m^2nry_0+2m^2nx_0y_0-2mn^2ry_0+2mn^2x_0y_0-2a^2mn+b^2m^2+2b^2mn+b^2n^2-m^2y_0^2-2mnr^2+2mnx_0^2-2mny_0^2-n^2y_0^2-2mry_0-2mx_0y_0-2nry_0-2nx_0y_0+a^2-r^2-2rx_0-x_0^2=0\)


同理，还能得到另外三个等式，但还需要一个指定参数，才能确定\(r\)的表达式

\(-(mn+1)^2r^2+2(mn+1)(mnx_0-my_0-ny_0-x_0)r+a^2m^2n^2-m^2n^2x_0^2+2m^2nx_0y_0+2mn^2x_0y_0-2a^2mn+b^2m^2+2b^2mn+b^2n^2-m^2y_0^2+2mnx_0^2-2mny_0^2-n^2y_0^2-2mx_0y_0-2nx_0y_0+a^2-x_0^2=0\)

\(-(np+1)^2r^2+2(np+1)(npx_0-ny_0-py_0-x_0)r+a^2n^2p^2-n^2p^2x_0^2+2n^2px_0y_0+2np^2x_0y_0-2a^2np+b^2n^2+2b^2np+b^2p^2-n^2y_0^2+2npx_0^2-2npy_0^2-p^2y_0^2-2nx_0y_0-2px_0y_0+a^2-x_0^2=0\)

\(-(ps+1)^2r^2+2(ps+1)(psx_0-py_0-sy_0-x_0)r+a^2p^2s^2-p^2s^2x_0^2+2p^2sx_0y_0+2ps^2x_0y_0-2a^2ps+b^2p^2+2b^2ps+b^2s^2-p^2y_0^2+2psx_0^2-2psy_0^2-s^2y_0^2-2px_0y_0-2sx_0y_0+a^2-x_0^2=0\)

\( -(ms+1)^2r^2+2(ms+1)(msx_0-my_0-sy_0-x_0)r+a^2s^2m^2-s^2m^2x_0^2+2s^2mx_0y_0+2sm^2x_0y_0-2a^2sm+b^2s^2+2b^2sm+b^2m^2-s^2y_0^2+2smx_0^2-2smy_0^2-m^2y_0^2-2sx_0y_0-2mx_0y_0+a^2-x_0^2=0\)

我们可以先指定 \(m=0\) (即四边形第一个顶点的坐标为\([r+x_0,y_0]\)

可以通过消元\(\{n,p,s\}\) 得到\(r\)的表达式。

mathe

对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y,z][(A,B,D),(B,C,E),(D,E,F)][(x),(y),(z)]=0$
我们记列向量$X=[(x),(y),(z)]$,于是一般情况圆锥曲线方程可以简单写成$X'HX=0$,其中H是一个3阶对称阵。
于是我们同样可以用对称阵H直接表示这圆锥曲线。
现在假设有两条圆锥曲线对应对称阵分别为J,K
我们矩阵$M=J^-1K$有三个特征值$r_1,r_2,r_3$对应列特征向量分别为$v_1,v_2,v_3$,
于是我们有$Mv_i=r_iv_i,Kv_i=r_iJv_i,v'_iK=r_iv'_iJ$
所以对于不同的i,j,必然有
$r_j*v'_iJv_j=v'_iKv_j=r_i*v'_iJv_j$,所以对于特征值不想等的情况，必然有$v'_iJv_j=0$
同样$v'_iKv_j=r_jv'_iJv_j=0$
我们取矩阵$U=[v_1,v_2,v_3]$
$U'KU=[(v'_1),(v'_2),(v'_3)][Kv_1,Kv_2,Kv_3]$
所以
$U'KU=[(v'_1Kv_1,v'_1Kv_2,v'_1Kv_3),(v'_2Kv_1,v'_2Kv_2,v'_2Kv_3),(v'_3Kv_1,v'_3Kv_2,v'_3Kv_3)]$
所以
$U'KU=[(r_1v'_1Jv_1,0, 0),(0,r_2v'_2Jv_2,0),(0,0,r_3v'_3Jv_3)]$
同样
$U'JU=[(v'_1),(v'_2),(v'_3J)][Jv_1,Jv_2,Jv_3]$
所以
$U'JU=[(v'_1Jv_1,0,0),(0,v'_2Jv_2,0),(0,0,v'_3Jv_3)]$
也即是如果我们采用射影变换$Y=U^-1X$,那么对应的方程就分别变成
$Y'U'KUY=0,Y'U'JUY=0$
这两个方程的中心都在原点而且对称轴已经标准化的椭圆,比较它们长短轴的关系可以得出
满足条件的要求是$1/{r_1}+1/{r_2}=1/{r_3}$
这里我们假设$v_3$对应的点在曲线J内部，而$v_1,v_2$在曲线J外部，所以$v'_3Jv_3<0,v'_1Jv_1>0,v'_2Jv_2>0$
同样$v_3$应该在曲线K内部，$v_1,v_2$在曲线K外部，所以必然$r_1>0,r_2>0,r_3>0$,也就是两条椭圆的情况必然$J^-1K$的三个特征值都是正数。
当然如果包含双曲线，那么有可能出现特征值是负数的情况

mathe

本题中为了计算方便，可以选择
$J=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-r^2)]$
$K=[(1/{a^2},0,-{x_0}/{a^2}),(0,1/{b^2},-{y_0}/{b^2}),(-{x_0}/{a^2},-{y_0}/{b^2},{x_0^2}/{a^2}+{y_0^2}/{b^2}-1)]$
然后代入计算得出关系

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-19 13:49
根据平面几何的斜率公式可以得到：

\(\frac{\sin(\beta)-\sin(\alpha)}{\cos(\beta)-\cos(\alpha)}+\fra ...

r的表达式是什么？能否求出来？

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:23
对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y, ...

此一般方程是二次曲面，不是二次曲线。搞得这么复杂，倒不如直接用解析法求解。本人是觉得解析法计算太复杂，没有耐心，特征求新的解法。当然，能得出求外接圆半径的方程为最好。