求外接圆的半径

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:31
本题中为了计算方便，可以选择
$J=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)]$
$K=[(1/{a^2},0,-{x_0}/{a^2}),(0,1/{b^2 ...

本人对复杂的计算没有信心，特发帖征求结果。

mathe

18#的特征多项式是
$r^2*b^2a^2*x^3 + (-a^2b^2 + a^2y0^2 - r^2a^2 + b^2x0^2 -r^2b^2)*x^2 + (a^2 -x0^2 + b^2 -y0^2 + r^2)*x - 1$

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:23
对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y, ...

你这种“矩阵解法”很有代表性。能否针对本帖内容要求进行推理演算？

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 15:34
18#的特征多项式是
$b^2a^2*x^3 + (-a^2b^2 + a^2y0^2 - a^2 + b^2x0^2 - b^2)*x^2 + (a^2 -x0^2 + b^2 -y ...

先不管是否正确，感谢管理员总算提供一个结果。问题在于特征多项式中的x与外接圆的半径R有何关系？

数学星空

我算出的结果为：

\(r^4+(-2a^2-2b^2-2x_0^2-2y_0^2)r^2+a^4-2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2+b^4+2b^2x_0^2-2b^2y_0^2+x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4\)

\(=r^4-2((a^2+b^2)+(x_0^2+y_0^2))r^2+((a^2-b^2)^2-2(a^2-b^2)(x_0^2-y_0^2)+(x_0^2+y_0^2)^2)\)

\(=0\)

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-19 15:51
我算出的结果为：

\(r^4+(-2a^2-2b^2-2x_0^2-2y_0^2)r^2+a^4-2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2+b^4+2b^2x_0^ ...

感谢“数学星空”管理员提供一个更漂亮的结果。但常数项部分有问题：当圆心为原点时，圆②应为椭圆①的准圆。而你提供的计算结果得不到这个结论。

mathe

17#得出满足条件的情况下必然有$1/{r_1}+1/{r_2}=1/{r_3}$,而18#对应的特征方程是
$b^2a^2r^2 x^3 +(−a^2b^2 +a^2y_0^2 −a^2r^2+b^2x_0^2 −b^2r^2 )x^2 +(a^2 −x_0^2+b^2 −y_0^2+r^2)x−1$
于是$s_1=1/{r_1},s_2=1/{r_2},s_3=1/{r_3}=s_1+s_2$满足方程
$x^3-(a^2 −x_0^2+b^2 −y_0^2+r^2)x^2+(a^2b^2 -a^2y_0^2 +a^2r^2 -b^2x_0^2 +b^2r^2)x-a^2b^2r^2=0$
根据韦达定理有
${(2(s_1+s_2)=a^2−x_0^2+b^2−y_0^2+r^2),(s_1s_2+(s_1+s_2)^2=a^2b^2 -a^2y_0^2 +a^2r^2 -b^2x_0^2 +b^2r^2),(s_1s_2(s_1+s_2)=a^2b^2r^2):}$

mathe

于是得出
${2a^2b^2r^2}/{a^2-x_0^2+b^2-y_0^2+r^2}+{(a^2-x_0^2+b^2-y_0^2+r^2)^2}/4=a^2b^2-a^2y_0^2+a^2r^2-b^2x_0^2+b^2r^2$
其中圆的半径为r
另外我们可以采用一个方向无关的记号，设$d^2=x_0^2+y_0^2$,d为$(x0,y0)$到圆心的距离,$t$为向量$(a,b)$和$(x_0,y_0)$的夹角，于是可以写成
${2a^2b^2r^2}/{a^2+b^2+r^2-d^2}+{(a^2+b^2+r^2-d^2)^2}/4=a^2b^2+(a^2+b^2)(r^2-d^2sin^2(t))$
或者
$(r^2+a^2+b^2-d^2)^3-4(r^2+a^2+b^2-d^2)((a^2+b^2)(r^2-d^2sin^2(t))+a^2b^2)+8a^2b^2r^2=0$
于是t=0,可以得出前面得出$x_0=0$或$y_0=0$的情况
$(r^2+a^2+b^2-d^2)^3-4(r^2+a^2+b^2-d^2)((a^2+b^2)r^2+a^2b^2)+8a^2b^2r^2=0$
而d=0，也就是中心重叠可以变化为
$(r^2+a^2+b^2)^3-4(r^2+a^2+b^2)((a^2+b^2)r^2+a^2b^2)+8a^2b^2r^2=0$

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 17:01
于是得出
${2a^2b^2}/{a^2-x_0^2+b^2-y_0^2+1}+{(a^2-x_0^2+b^2-y_0^2+1)^2}/4=a^2b^2-a^2y_0^2+a^2-b^2x_ ...

用特殊情况(x₀=0或y₀=0)验证此等式没有错误。但此等式是关于R²的三次方程，而圆②的半径R具有唯一性，那应取三次方程的哪个实根呢？

mathe

判断哪个解合法可以代回去，比如特征方程三个根都必须是正根。