求外接圆的半径

数学星空

通过最终计算可以得到我们想要的结果：

\((a^2+b^2-x_0^2-y_0^2)(a^4-2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2+b^4+2b^2x_0^2-2b^2y_0^2+x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4)+(-a^4+2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2-b^4+2b^2x_0^2-2b^2y_0^2+3x_0^4+6x_0^2y_0^2+3y_0^4)r^2+(-a^2-b^2-3x_0^2-3y_0^2)r^4+r^6=0\)

若作代换\(x_0^2+y_0^2=x^2,r=R,a=r,b=r\),则有结果

\((R^2-x^2)(R^4-2R^2r^2-2R^2x^2-2r^2x^2+x^4)=0\)

注：

\(\frac{1}{r^2}=\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}\) 去分母后可以得到

\(R^4-2R^2r^2-2R^2x^2-2r^2x^2+x^4＝0\)

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-19 19:22
通过最终计算可以得到我们想要的结果：

\((a^2+b^2-x_0^2-y_0^2)(a^4-2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2+b^4+ ...

你是怎么得来的？现在的问题是：R²应取关于R²三次方程的哪个正根？看看有啥规律可寻？

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 18:31
判断哪个解合法可以代回去，比如特征方程三个根都必须是正根。

取哪个正根？应该有规律可寻的。

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-19 19:22
通过最终计算可以得到我们想要的结果：

\((a^2+b^2-x_0^2-y_0^2)(a^4-2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2+b^4+ ...

话归正题：实际上我早想到R应取最大正根，但你是如何证明的？光猜测是不行的。有名的费马素数就是例子。

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-19 19:22
通过最终计算可以得到我们想要的结果：

\((a^2+b^2-x_0^2-y_0^2)(a^4-2a^2b^2-2a^2x_0^2+2a^2y_0^2+b^4+ ...

经核算：
（1）R²三次方程的三根是两正一负或三正
（2）正根对应的是椭圆外切凸四边形的外接圆(最大正根)和椭圆外切蝴蝶四边形的外接圆(小正根)
（3）负根无意义，是增根。

mathe

zuijianqiugen 发表于 2014-4-19 20:42
经核算：
（1）R三次方程的三根是两正一负
（2）两正根对应的分别是椭圆外切凸四边形的外接圆(大正根) ...

估计负根也有意义，是一个虚圆。也就是x^2+y^2+d^2=0样子的虚圆。

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 20:46
估计负根也有意义，是一个虚圆。也就是x^2+y^2+d^2=0样子的虚圆。

看来你的思维已经进入四维空间了。

mathe

把本题中关于两条二次圆锥曲线一般情况整理了一下，放在了http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 3027&fromuid=20
这个方法还可以把四边形推广到其他n变形情况，方法是一样的

mathe

比如题目中四边形换成三角形，我们同样先考虑单位圆里面一个椭圆${x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1$,考虑这个椭圆切线y=-b和另外两条对称切线其中一条为${\sqrt(1-b^2)}/a *x + y=1$
这条切线同$y=-b$相交于$({(1+b)a}/{\sqrt(1-b^2)},-b)$,于是这个点也在单位圆上，所以得出关系式$1-b=a$
于是要求$\sqrt({r_3}/{r_1})+\sqrt({r_3}/{r_2})=1$
同样设$u_i=1/{r_i}$我们可以得出$(u_1+u_2-u_3)^2=4u_1u_2$,然后再次利用特征方程转变为系数关系,也就是$u_1^2+u_2^2+u_3^2=2u_1u_2+2u_2u_3+2u_3u_1$
也就是$(u_1+u_2+u_3)^2=4(u_1u_2+u_2u_3+u_3u_1)$
而它们满足方程
$x^3-(a^2 −x_0^2+b^2 −y_0^2+r^2)x^2+(a^2b^2 -a^2y_0^2 +a^2r^2 -b^2x_0^2 +b^2r^2)x-a^2b^2r^2=0$
由此我们得出要求
$(a^2 −x_0^2+b^2 −y_0^2+r^2)^2=4(a^2b^2 -a^2y_0^2 +a^2r^2 -b^2x_0^2 +b^2r^2)$

数学星空

To mathe : 对于两个椭圆内接和外切四边形的结论能给出分析和求解过程吗？

对于两个相似椭圆的内接和外切四边形有结论：http://bbs.emath.ac.cn/thread-4267-3-1.html    27#

若两个椭圆不相似，那么结论是什么呢？