椭圆内接N边形的最大面积

数学星空

类似的，我们有下面结论：
    外切于椭圆$C_1:x^2/a^2+y^2/b^2=1$的最大面积的$N$边形有无数多个，
其面积均为$N*a*b*tan(pi/N)$,若其中一个顶点坐标为$(a*cos(t),b*sin(t))$
则相邻顶点的坐标必为$(a*cos(t+(2*pi)/N),b*sin(t+(2*pi)/N))$
这些面积最大的$N$边形内接于一个与$C_1$相似的椭圆
$C_2: x^2/a^2+y^2/b^2=1/cos((pi)/N)^2$

数学星空

有了以上的定理：
就可以很方便的求解Steiner 外接椭圆和内切椭圆三角形问题
对于内接于椭圆$x^2/m^2+y^2/n^2=1$的最大面积的三角形三边长分别为$a,b,c,$求$m,n$?
设三角形的三个顶点$A(m*cos(t),n*sin(t)),B(m*cos(t+(2*pi)/3),n*sin(t+(2*pi)/3)),C(m*cos(t+(4*pi)/3),n*sin(t+(4*pi)/3))$
$(m*cos(t)-m*cos(t+(2*pi)/3))^2+(n*sin(t)-n*sin(t+(2*pi)/3))^2=a^2$
$(m*cos(t+(2*pi)/3)-m*cos(t+(4*pi)/3))^2+(n*sin(t+(2*pi)/3)-n*sin(t+(4*pi)/3))^2=b^2$
$(m*cos(t+(4*pi)/3)-m*cos(t))^2+(n*sin(t+(4*pi)/3)-n*sin(t))^2=c^2$

数学星空

对于22#化简得：
$(m^2-n^2)*(cos(2*t)+sqrt(3)*sin(2*t))+2*m^2+2*n^2 = (4*a^2)/3$

$m^2+n^2-(m^2-n^2)*cos(2*t) = (2*b^2)/3$

$(m^2-n^2)*(sqrt(3)*sin(2*t)-cos(2*t))+2*m^2+2*n^2 = 4*c^2$

解得：

$m=sqrt(a^2+b^2+c^2+2*sqrt(a^4+b^4+c^4-a^2*b^2-a^2*c^2-b^2*c^2))/3$


$n=sqrt(a^2+b^2+c^2-2*sqrt(a^4+b^4+c^4-a^2*b^2-a^2*c^2-b^2*c^2))/3$

数学星空

对于外切于椭圆$x^2/m^2+y^2/n^2=1$最大面积的三角形三边长分别为$a,b,c$ 求$m,n$的值？
并设三边分别相切椭圆于点
$(m*cos(t_1),n*sin(t_1)),(m*cos(t_2),n*sin(t_2)),(m*cos(t_3),n*sin(t_3))$
则有结论：

$t=arctan((sqrt(3)*(a^2-c^2))/(a^2-2*b^2+c^2))/2$

$m=(sqrt(a^2+b^2+c^2+(a^2-2*b^2+c^2)/cos(2*t)))/6$

$n=(sqrt(a^2+b^2+c^2+(a^2-2*b^2+c^2)/cos(2*t)))/6$

$t_1=t+pi/3$

$t_2=t+pi$

$t_3=t-pi/3$

数学星空

有趣的是：
将$t$代入$m,n$计算有

$m=sqrt(a^2+b^2+c^2+2*sqrt(a^4+b^4+c^4-a^2*b^2-a^2*c^2-b^2*c^2))/6$

$n=sqrt(a^2+b^2+c^2-2*sqrt(a^4+b^4+c^4-a^2*b^2-a^2*c^2-b^2*c^2))/6$

数学星空

以上$m,n$值与http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html给的公式是一致的 陈都给的公式有误。

数学星空

对于双椭圆（内接和外切)的四边形ABCD(四边依次为$a,b,c,d$),存在的条件？
内接椭圆为$x^2/m^2+y^2/n^2=1$
$(m*cos(t)-m*cos(t+pi/2))^2+(n*sin(t)-n*sin(t+pi/2))^2=a^2$
$(m*cos(t+pi/2)-m*cos(t+pi))^2+(n*sin(t+pi/2)-n*sin(t+pi))^2=b^2$
$(m*cos(t+pi)-m*cos(t+(3*pi)/2))^2+(n*sin(t+pi)-n*sin(t+(3*pi)/2))^2=c^2$
$(m*cos(t+(3*pi)/2)-m*cos(t+2*pi))^2+(n*sin(t+(3*pi)/2)-n*sin(t+2*pi))^2=d^2$
解得：
$a = c, b = d, a^2+b^2 = c^2+d^2 = 2*(m^2+n^2)$

数学星空

对于双椭圆（内接和外切)的五边形ABCDE(五边依次为$a,b,c,d,e$),存在的条件？ 内接椭圆为$x^2/m^2+y^2/n^2=1$ $(m*cos(t)-m*cos(t+(2*pi)/5))^2+(n*sin(t)-n*sin(t+(2*pi)/5))^2=a^2$ $(m*cos(t+(2*pi)/5)-m*cos(t+(4*pi)/5))^2+(n*sin(t+(2*pi)/5)-n*sin(t+(4*pi)/5))^2=b^2 $ $(m*cos(t+(4*pi)/5)-m*cos(t+(6*pi)/5))^2+(n*sin(t+(4*pi)/5)-n*sin(t+(6*pi)/5))^2=c^2 $ $(m*cos(t+(6*pi)/5)-m*cos(t+(8*pi)/5))^2+(n*sin(t+(6*pi)/5)-n*sin(t+(8*pi)/5))^2=d^2$ $(m*cos(t+(8*pi)/5)-m*cos(t+2*pi))^2+(n*sin(t+(8*pi)/5)-n*sin(t+2*pi))^2=e^2$ 化简为： $c^2*m^2+c^2*n^2+(5*m^4)/2-(5*n^4)/2-(sqrt(5)+1)/2*m^2*b^2-m^2*a^2+(sqrt(5)+1)/2*n^2*b^2+n^2*a^2=0$ $7.184447626*d^2*m^2*n^2-11.62468045*m^2*b^2*n^2-11.62468045*m^2*a^2*n^2-3.592223813*d^2*m^4-$ $3.592223813*d^2*n^4+5.550291030*m^4*n^2+5.550291030*m^2*n^4+5.812340223*m^4*b^2+5.812340224*m^4*a^2+$ $5.812340223*n^4*b^2+5.812340224*n^4*a^2-5.550291030*m^6-5.550291030*n^6=0 $ $7.184447624*m^2*b^2*n^2+11.62468045*m^2*a^2*n^2+7.184447626*e^2*m^2*n^2-8.980559532*m^4*n^2-8.980559533*m^2*n^4-3.592223812*m^4*b^2-$$5.812340224*m^4*a^2-3.592223812*n^4*b^2-5.812340224*n^4*a^2-3.592223813*e^2*m^4-3.592223813*e^2*n^4+8.980559532*m^6+8.980559532*n^6=0$ 有谁能给出简化的最终结果？？

数学星空

对于双椭圆（内接和外切)的六边形ABCDEF(六边依次为$a,b,c,d,e,s$),存在的条件？
内接椭圆为$x^2/m^2+y^2/n^2=1$
$(m*cos(t)-m*cos(t+pi/3))^2+(n*sin(t)-n*sin(t+pi/3))^2=a^2$
$(m*cos(t+pi/3)-m*cos(t+(2*pi)/3))^2+(n*sin(t+pi/3)-n*sin(t+(2*pi)/3))^2=b^2$
$ (m*cos(t+(2*pi)/3)-m*cos(t+pi))^2+(n*sin(t+(2*pi)/3)-n*sin(t+pi))^2=c^2$
$(m*cos(t+pi)-m*cos(t+(4*pi)/3))^2+(n*sin(t+pi)-n*sin(t+(4*pi)/3))^2=d^2$
$(m*cos(t+(4*pi)/3)-m*cos(t+(5*pi)/3))^2+(n*sin(t+(4*pi)/3)-n*sin(t+(5*pi)/3))^2=e^2 $
$(m*cos(t+(5*pi)/3)-m*cos(t+2*pi))^2+(n*sin(t+(5*pi)/3)-n*sin(t+2*pi))^2=s^2$
解得：
$a = d, b = e, c = s$
$a^2+b^2+c^2 = 3/2*(m^2+n^2), d^2+e^2+s^2 = 3/2*(m^2+n^2)$

数学星空

对于28#，我们找到一组比较特别的关系式 $ (a^2-c^2)/(d^2-e^2)=(sqrt(5)-1)/2$