椭圆内接N边形的最大面积

数学星空

根据本题的结论我们可以得到：
设$a,b,alpha_k$ 均为正实数，$n$为大于$2$的正整数，则

$sum_(k=1)^n sqrt((a^2*cos(alpha_k)^2+b^2*sin(alpha_k)^2)*(a^2*cos(alpha_(k+1))^2+b^2*sin(alpha_(k+1))^2))*sin(beta_(k+1)-beta_k)<=n*a*b*sin((2*pi)/n)$

其中$cos(beta_k)=1/sqrt(1+(b*tan(alpha_k))^2/a^2)$

注:$alpha_(n+1)=alpha_1$

等号仅当$alpha_(k+1)-alpha_k=(2*pi)/n$,$k=1...n$时成立。

数学星空

一般的，我们有下面定理：
    内接于椭圆$C_1:x^2/a^2+y^2/b^2=1$的最大面积的$N$边形有无数多个，
其面积均为$(N*a*b*sin((2*pi)/N))/2$,若其中一个顶点坐标为$(a*cos(t),b*sin(t))$
则相邻顶点的坐标必为$(a*cos(t+(2*pi)/N),b*sin(t+(2*pi)/N))$
这些面积最大的$N$边形外切于一个与$C_1$相似的椭圆
$C_2: x^2/a^2+y^2/b^2=cos((pi)/N)^2$

mathe

一般的，我们有下面定理：
    内接于椭圆C_1:x^2/a^2+y^2/b^2=1的最大面积的N边形有无数多个，
其面积均为(N*a*b*sin((2*pi)/N))/2,且相邻两个顶点之间的夹角均为(2*pi)/N,
这些面积最大的N边形外切于一个与C_1相 ...
数学星空 发表于 2012-4-28 23:26

仿射是不保角的

数学星空

经过验算，仿射的确不是保角的，但如何计算N个顶点的坐标（即仿射成正N边形后，如何再仿射在椭圆上？）

mathe

很简单，就是将横坐标压缩a/b倍，于是变成半径为b的圆。然后得出正N边形坐标，然后横坐标再放大a/b倍回到原先椭圆，于是各点坐标为$(a*cos({2pi}/N),b*sin({2pi}/N))$

数学星空

那也就是说相邻两顶点间的夹角是$(2*pi)/N$,没错哟。。。
但通过计算其N个顶点构成的面积并非$(N*a*b*sin((2*pi)/N))/2$

数学星空

以下是$t=(2*pi*k)/100,k=0..100$,取$100$个样本点计算的各个点构成的$N$边形面积(Y轴值为对应的每个样本点构成N边形的面积）
$N=5$
$S(5)=(5*(5*3)*sin((2*pi)/5))/2=35.66461937$


$N=6$

$S(6)=(6*(5*3)*sin((2*pi)/6))/2=38.97114317$

$N=7$

$S(7)=(7*(5*3)*sin((2*pi)/7))/2=41.04615283$

这说明$N$个顶点的坐标应该不是$a*cos((2*pi)/N),b*sin((2*pi)/N)$(此时对应$t=0$时$S(N)$)

mathe

那也就是说相邻两顶点间的夹角是(2*pi)/N,没错哟。。。
但通过计算其N个顶点构成的面积并非(N*a*b*sin((2*pi)/N))/2
数学星空 发表于 2012-4-30 09:28

夹角不是(2*pi)/N呀

数学星空

原来是我理解错误，其实相邻两顶点$A_k,A_(k+1)$
$(a*cos((2*pi*k)/N), b*sin((2*pi*k)/N))$
$(a*cos((2*pi*(k+1))/N),b*sin((2*pi*(k+1))/N))$的夹角为
$arccos((OA_k^2+OA_(k+1)^2-(A_k A_(k+1))^2)/(2*OA_k*OA_(k+1)))$
并不是$(2*pi)/N$
其中O为坐标原点

数学星空

以下是$t=(2*pi*k)/100,k=0..100$,取$100$个样本点计算的各个点构成的$N$边形面积(Y轴值为对应的每个样本点构成N边形的面积）
$N=5$
$S(5)=(5*(5*3)*sin((2*pi)/5))/2=35.66461937$



$N=6$
$S(6)=(6*(5*3)*sin((2*pi)/6))/2=38.97114317$



$N=7$
$S(7)=(7*(5*3)*sin((2*pi)/7))/2=41.04615283$



可以确定上述定理是成立的