求外接圆的半径

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:31
本题中为了计算方便，可以选择
$J=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-r^2)]$
$K=[(1/{a^2},0,-{x_0}/{a^2}),(0,1/{b ...

mathe大师，您好！我对此题的特征多项式是搞懂了，只是对特征向量还有点不自信。我算的特征向量为：
ｖ_i=[λx₀/(1-r_ia²)，λy₀/(1-r_ib²)，λ]^T
其中，i=1、2、3，λ≠0。不知对不对？（J为单位圆）

mathe

没问题，很显然

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:23
对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y, ...

mathe大师，您好！我对此贴内容几乎全部看懂了，只是有一步看不明白：
即如何证明  v₁^′Jv₁=v₂^′Jv₂=-v₃^′Jv₃（J为单位圆）

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:23
对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y, ...

mathe大师，您好！Y=U^-1X是一次射影变换的变换式，只能将J、K变成同心的椭圆。按您说的将Y再进行一次仿射变换，将J变成圆，那其仿射变换式是什么？

mathe

两个同心同轴椭圆你自己想一下应该如何处理？可以直接从几何角度

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:23
对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y, ...

mathe版主，您好！我对此帖内容只是看懂，但还是有两个问题没弄明白：
（1）取曲线矩阵M=J^-1K问题。若J、K交换，则两种情况的特征值成倒数关系，其计算结果是完全不同的。问题在于应取哪条二次曲线的矩阵为逆矩阵？有何规定？
（2）取向量矩阵U=[v₁、v₂、v₃]问题。若v₁、v₂、v₃任意交换，其计算结果也是完全不同的。问题在于应如何确定特征向量的顺序？有何规定？
         此两个问题，麻烦版主在百忙之中指点一二，先谢谢了！

mathe

J是目标曲线，对应外椭圆，K是变换曲线，对应内椭圆。两者本来就不同。至于三个特征值，在复数范围看，没有本质区别。但是我们现在是实变换，就有区别。比如可能只有一个是实数。如果三个都是实数，对应特征向量对应两曲线公共极点通常一个在目标曲线里，两个在外部。内部的极点对应的极线完全在曲线外部，投影到无穷远对应的曲线就是椭圆，但是如果投影另外俩极线，就会变成双曲线了

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-28 18:05
J是目标曲线，对应外椭圆，K是变换曲线，对应内椭圆。两者本来就不同。至于三个特征值，在复数范围看，没有 ...

一下子难以看明悟透，只有按版主的提示慢慢琢磨了。

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-20 20:20
由此我们可以计算复合变换，设$t_1=1,t_2={4(a-1)(b-1)}/{(ab-1)^2}$而且$t_{n+1}={(t_n-1)^2}/{(abt_n-1)^ ...

mathe版主,您好！我对此递进公式很感兴趣。
（1）此公式是不是单位圆和二次曲线(1-a)x²+(1-b)y²=1存在弦切n边形的必要条件？
（2）此公式是怎么来的，我还是看不明白。能否提示一下？

mathe

你可以查看二次对合变换群那个帖子里的附件，是个word文档。

应该是充分条件。