求外接圆的半径

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-20 18:14
标准情况（就是一个单位圆，一个${x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1$我们已经得出条件为$a+b=1$)
而17#的结论是 ...

那a=√(r₃/r₁)、b=√(r₃/r₁)是怎么来的？

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-20 21:37
为了便于mathe 给出更多更精彩的分析，根据楼上的结果易得到特征方程

\(n=2\)时  

你真有水平，提供这么多特征方程。但不知这些特征方程如何应用？是椭圆和同心圆存在切接n边形的条件等式吗？

mathe

后面符号有点错乱，后面的a,b,代表存在参数u,使得三个特征值为u,u(1-a),u(1-b)。
其实我们不如使用变量替换s=a+b,p=ab,（由于后面结果都是a,b的对称式，但是不应该称它们为特征方程）
而18#特征方程可以设为$h0x^3-h1x^2+h2x-1$,于是根据韦达定理可以有$u(3-s)={h1}/{h0},u^2(3-2s+p)={h2}/{h0},u^3(1-s+p)=1/{h0}$
由此可以得出$1/u$的三次方程并且将s,t表示为$1/u$的函数，然后带入对应n的结果可以得出原a,b的关系

mathe

设v=1/u满足方程$v^3-h_2v^2+h_1v-h_0=0$有$t_1=1,t_2={4h_0}/{(2v-h_2)v},t_{n+1}={h_0^2(t_n-1)^2}/{((3h_0-2h_1v+h_2v^2)t_n-h_0)^2t_{n-1}}$

mathe

然后对于n边形情况就是要求$t_n=0$可得v的另外一个多项式约束，和原先v的三次方程辗转相除可消去v得出系数$h_0,h_1,h_2$的关系式，然后将它们代入记得原系数约束关系

mathe

我试着算了n=3情况得出$2v^2-h_2v-4h_0=0$,消除v结果好像是$(4h_1+8h_0-h_2^2)(h_2+4h_1+8h_0)=8h_0(h_2+1)^2$

mathe

还有一步可以稍微简化一下，可以设$t_{2n}=t_2w_{2n}^2,t_{2n+1}=w_{2n+1}^2$·于是我们只要求$w(n)=0$

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-4-19 14:23
对于一般圆锥曲线,其齐次坐标系下一般方程为$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0$
写成矩阵形式就是
$[x,y, ...

文中带“撇”的特征向量υ^′_i是何意？是不是其转置矩阵的特征向量？

mathe

横向量，就是这个向量横放，这样才可和矩阵左乘

mathe

另外51楼结果可以直接看成$(1-a)x^2+(1-b)y^2=1$和单位圆有一个n边行分别外切内接的条件