轨迹是否为圆

mathe

假设\(1https://bbs.emath.ac.cn/thread-5485-1-1.html 中可以通过椭圆曲线解决这里的问题

wayne

用解析几何有点麻烦， 我高等几何还没看完呢

mathe

今天用几何画板作图检验了一下，对于一般的情况不成立，但是好像对于\(t=k-1\)成立。 而对于一般情况好像结果是一个普通的二次曲线，而不一定是圆。但是这个二次曲线同样和两个原先的圆拥有统一的极点和极线。

mathe

思考这个问题得出一个有意思的变换。 设\(C_1\), \(C_2\)是平面上的两条圆锥曲线. \(C_1\)（上的点列）是\(C_2\)作用对象，\(C_2\)是变换曲线。 自\(C_2\)上的动点\(Q\)引\(C_1\)的两条切线得切点\(P\)和\(R\)，那么\(P\rightarrow R\)就确定了\(C_1\)上点列的一个变换，且称之为\(C_1\)关于\(C_2\)的一个圆锥变换或二次对合变换（不知道数学上是否已经有这个变换的定义，需要注意的是二次对合变换不是对合变换）。 为简化计算，我们将曲线\(C_1\)射影成抛物线\(y=x^2\)，使得\(C_1\)上的点\((x,y)\)可以写成参数形式\((x,x^2)\)。 假定上述各点坐标为\(Q(x_0,y_0),P(x_1,y_1),R(x_2,y_2)\). \(PR\)是\(Q\)关于\(C_1\)的极线，其直线方程为\(2x_0x-y-y_0=0\) \(PR\)和\(C_1\)交于\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)两点，也就是方程 \(x^2-2x_0x+y_0=0\)的两根是\(x_1,x_2\) 由韦达定理可得\(x_1+x_2=2x_0,x_1x_2=y_0\) 由此可见, 若圆锥变换\(C_2\)将 \(C_1\)上的点\((x_1,y_1)\)变换为\((x_2,y_2)\), 那么\((\frac{x_1+x_2}2,x_1x_2)\)将满足曲线\(C_2\)的方程。 反之可得，曲线\(C_1:y=x^2\)上点列的一个变换为圆锥变换的充要条件是\((u,v)=(\frac{x_1+x_2}2,x_1x_2)\)满足一条圆锥曲线方程。 现在，我们设\(C_2\)的方程为\(4A x^2+2B x y+C y^2+2D x+E y+F=0\), 将\((\frac{x_1+x_2}2,x_1x_2)\)代入方程得 $A(x_1+x_2)^2+B(x_1+x_2)x_1x_2+C(x_1x_2)^2+D(x_1+x_2)+E(x_1x_2)+F=0$ (1) 我们发现可以将上面方程改成矩阵形式 $[x_1,x_1^2,1][(2A+E,B,D),(B,C,A),(D,A,F)][(x_2),(x_2^2),(1)]=0$ (2) 可以看到，对于源\((x_1,x_1^2)\), 像\((x_2,x_2^2)\)一般有两解，且记为\(x_{2_1},x_{2_2}\). 假定\(x_1\rightarrow x_{2_1}\)是沿顺时针方向的，那么\(x_1\rightarrow x_{2_2}\)就是沿逆时针方向的。任取一个方向，就得到一个圆锥变换。 也即是说，任意一个实对称矩阵确定圆锥曲线上一对互逆的圆锥变换。 设(2)的展开式为\(u x_2^2+v x_2+w=0\), 易知这里\(u,v,w\)都是$x_1,x_1^2,1$的线性组合 所以若将\(\frac{x_{2_1}+x_{2_2}}2=-v/2u,x_{2_1}x_{2_2}=w/u\)看成一个平面上点的坐标，那么它正好是点\((x_1,x_1^2,1)\)的一个射影变换， 由于动点\((x_1,x_1^2,1)\)满足圆锥曲线\(y=x^2\)的方程，故\((\frac{x_{2_1}+x_{2_2}}2,x_{2_1}x_{2_2})\)也满足一条圆锥曲线的方程 也就是说, 变换 \(x_{2_1}\rightarrow x_{2_2}\)也是\(C_1\)上点列的一个圆锥变换。 而 \(x_{2_1}\rightarrow x_{2_2}\)是 \(x_{2_1}\rightarrow x_1\) 和\(x_1\rightarrow x_{2_2}\)的复合，故得圆锥变换的平方还是圆锥变换。 其几何意义就是给定圆锥曲线\(C_1,C_2\),从\(C_1\)上任意一动点P出发向某个方向(顺时针方向vs逆时针方向)作\(C_1\)切线交\(C_2\)于\(Q_1\),过\(Q_1\)作\(C_1\)的另一条切线切\(C_1\)于\(P_2\)交\(C_2\)于\(Q_2\),过\(Q_2\)做\(C_1\)的另一条切线切\(C_1\)于\(P_3\),那么\(PQ_1\)和\(Q_2P_3\)的交点的轨迹是圆锥曲线.

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几何画板作图表明同一个圆锥变换的任意次方还是圆锥变换，不过不知道如何证明，当然两个不同的圆锥变换的复合不一定是圆锥变换

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对于(2)中矩阵我们可以看成二次曲线\(C_3\): \((x,y,z)\begin{bmatrix}2A+E&B&D\\B&C&A\\D&A&F\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=0\) 于是(2)式的几何意义就是\((x_2,x_2^2,1)\)在点\((x_1,x_1^2,1)\)关于\(C_3\)的极线上（也就是关于\(C_3\)的极线和\(C_1\)的交点)

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4#的图中离散点列\(P,P2,P3,...\)是一个圆锥变换迭代点列，\(Q_1,Q_2,...\)也是。 对于圆锥曲线\(C_1\)上的一个圆锥变换\(C_2\)迭代点列\(\{P_i\}\)，它在一个射影变换\(M\)作用下的映像\(\{M(P_i)\}\)是圆锥曲线\(M(C_1)\)上的圆锥变换\(M(C_2)\)迭代点列。 通过射影对应，我们可以定义直线上的圆锥变换迭代点列。 如果\(P_1,P_2,P_3,....,P_n,...\)是圆锥曲线\(C\)上一个圆锥变换迭代点列，在 \(C\)上任意选择一点\(P\),连接\(PP_1,PP_2,...,PP_n,..\).等分别交直线 \(l\) 到\(Q_1,Q_2,Q_3,...,Q_n,...\),那么我们称\(Q_1,Q_2,Q_3,...,Q_n,...\)为直线 \(l\) 上的圆锥变换迭代点列。 在另外圆锥曲线\(C'\)上任取一点\(P'\),分别连接\(Q_1,Q_2,...,Q_n,...\)到\(P'\)的直线交圆锥曲线\(C'\)得出的交点序列还是\(C'\)上的圆锥变换迭代点列。 同样，两条直线之间点列的投影也保持圆锥变换的性质。

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对圆锥曲线\(C\)上任取的6个不同点\(P_1,P_2,...,P_6\), \(C\)上恰好存在一个的由此6点引导的圆锥变换迭代点列\(P_1,P_2,...,P_6,...\).

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根据前面的知识，我们现在知道对于上面定义的“圆锥变换”或“二次对合变换”，我们可以有下面四种不同的定义: i)给定圆锥曲线C1,以及另外一个圆锥曲线C2,对于C1上任意一点P1,过P1做C2的任意一条切线交C1于P2,同样过P2做C2的另外一条切线交C1于P3,...依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,... ii)对偶的，给定圆锥曲线C1,以及另外一个圆锥曲线C2,对于C1上任意一点P1,P1点的C1的切线交于C2于一点，而过着一点可以做C2的另外一条切线，切点为P2,,同样P2的这条切线交C2于另外一点，而过这一点C1的另外一条切线的切点为P3,...依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,... 我们称P1关于这个二次对合变换的像是P2,P2关于这个二次对合变换的像是P3,...而这个序列是对应的一个二次对合变换序列。 iii)给定圆锥曲线C1和C2,对于C1上任意一点P1,P1关于C2的极线和C1的一个交点定义为P2,然后P2关于C2的极线（必然过P1）和C1的另外一个交点为P3,P3关于C2的极线和C1的另外一个交点为P4,....依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,... 我们称P1关于这个二次对合变换的像是P2,P2关于这个二次对合变换的像是P3,...而这个序列是对应的一个二次对合变换序列。 iv)对偶于iii),给定圆锥曲线C1和C2,对于C1上任意一点P1,P1处切线关于C2的极点可以向C1引任意一切线，切点定义为P2,然后P2处切线关于C2的极点向C1做另外一条切线（其中一条必然切于P1)切C1于P3,,....依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,... 我们称P1关于这个二次对合变换的像是P2,P2关于这个二次对合变换的像是P3,...而这个序列是对应的一个二次对合变换序列。 而显然同一个圆锥变换如果选择不同的初始点，可以得到很多不同的二次对合变换序列。 四种定义中的曲线C1我们可以称之为这个二次对合变换的目标曲线，而其中的曲线C2可以分别称为第一(二，三，四）类变换曲线。

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我们现在查看第一类变换曲线，在复数范围，通常情况，它和目标曲线C1有四条公切线。 对于某一条公切线P1Q1,其中切C1于P1,切第一类变换曲线C2于Q1.由于过P1可以做C2的两条切线，其中另外一条为为P1Q2,其中交C1于另外一个点P2. 于是如果我们从P2开始做二次对合变换序列，并将第一次变换的像选择为P1,那么下一次变换，由于切线P1Q1是公切线，下一次变换结果还是P1,而再下一次变换，由于我们需要切换到过P1的另外一条切线(P1Q2),所以又变换到P2,于是我们得到对应的二次对合变换序列为 P2,P1,P1,P2,.... 也就是这个变换序列中点P1为连续重复出现一次（所以我们也知道对于每个点，其变换的像同它在序列中的位置也有关系，总共有两种可能的取值）。 另外一方面，如果一个点会在某个变换序列中连续重复出现，那么我们代入4#中(2)式(定义3的代数形式）,得到如果C1通过射影变换成$y=x^2$后，横坐标x必然是一个四次方程的根，所以最多四个解。 而由于通常情况，目标曲线和第一类变换曲线有且仅有四条公切线，这说明这种在某个序列中连续重复出现一次的点有且仅有四个，正好是目标曲线和第一类变换曲线公切线在目标曲线上的切点，我们称这种点为这个二次对合变换的驻点。当然特殊的，如果目标曲线正好和第一类变换曲线在某点相切，那么情况退化为两个驻点重合的情况，而对应的驻点处二次变换序列为常数点序列(P1,P1,P1,...）,这个点可以称为常驻点，显然常驻点最多两个。如果常驻点根据重数看成多个驻点，那么任何二次对合变换正好有且仅有四个驻点。