轨迹是否为圆

mathe

由此，我们通过丑陋证明得到漂亮结论:
一条圆锥曲线上两个圆锥变换如果第一类变换曲线和圆锥曲线本身共四点，那么复合也是圆锥变换，并且第一类变换曲线同样过这四点。由此本题可以马上解决

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mathe很有耐心，很暴力！！^_^

mathe

结论太漂亮了，不解决睡不好觉

mathe

然后我们可以继续分析，知道，如果第一类变换曲线和目标曲线本身重合，对应的圆锥变换退化为恒等变换；如果第一类变换曲线退化为相交直线形式，根据其代数形式计算可知，对应的圆锥变换退化为以相交直线的交点为对合中心的对合变换。
此外，如果第一类变换曲线和目标曲线相切于一点，那么这个切点变换任意次还是它本身，所以切点是这个变换的恒等元。反之，对于非恒等变换，由于第一类变换曲线和目标曲线最多有两个不同的切点，所以如果一个圆锥变换上有三个以上恒等元，那么只能是恒等变换。由此，我们可以非常容易得出一个结论：如果一个n边形同时存在内接和外接圆锥曲线。那么存在过外接圆锥上任意一点（顶点之一）的n边形同时外接和内接于这两个圆锥曲线。这个是因为我们马上可以得出对应圆锥变换的n次方变换是恒等变换。同样，如果n是偶数，那么我们马上可以知道这个圆锥变换的n/2次方是对合变换，所以这个多边形所有相隔n/2的顶点的连线共点
http://mathworld.wolfram.com/BicentricPolygon.html

mathe

另外一个关于双心五边形也可以用这里的结论轻松解决

mathe

前面我们讨论了很多圆锥曲线上的圆锥变换的性质。实际上我们还可以推广到直线上，如7#,可以通过射影变换将圆锥曲线上的圆锥变换点列投影到直线上。容易证明，对于直线上，圆锥变换可以定义成
$A(x1x2)^2+2B(x1x2)(x1+x2)+C(x1+x2)^2+2D(x1x2)+2E(x1+x2)+F=0$定义的隐函数。
而其中如果A,B,C都是0，就退化为一次的对合变换。实际上我们可以将它看成对合的二次扩展。

mathe

我们知道，对于过四点的二次曲线系中，每条二次曲线同一条固定直线的交点正好构成一个对合变换。
而过四点的二次曲线系可以看成一个二次曲线，其所有系数都是一个参数t的不超过一次的多项式。
如果我们定义一个二次曲线系，其所有系数都是一个参数t的不超过二次的多项式，那么这个二次曲线系中每一条曲线同一条固定直线的两个交点正好是这条直线上一个圆锥变换的两个对应点

mathe

过四点的二次曲线系我们可以称为一阶二次曲线系，而我们新定义的可以称为二阶二次曲线系。
于是任何一条定直线关于一个二阶曲线系中每条曲线的极点的轨迹是二次曲线。同样还有对偶命题，固定点关于它们的极线相切于固定的二次曲线

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注:这里关于二阶二次曲线的结论是错误的,只有固定点关于二阶二次曲线系的极线是相切于固定的二次曲线.但是固定直线关于二阶二次曲线系的极点的轨迹不一定是二次曲线.
但是特殊的,二阶圆系的圆心的轨迹是二次曲线.

mathe

反之，对于一条直线上的一个圆锥变换P,和直线外三个不共线的点A,B,C
过A,B,C和直线上动点x以及Px的圆锥曲线系是二阶二次曲线系（过固定三点A,B,C的二阶二次曲线系）。

另外，我还有一个猜想，对于一条直线以及其上一个圆锥变换P和一条切直线于一点的圆锥曲线C和直线外两个点A,B.
对于直线上任意一个动点x,x和Px关于C的另外一条切线交于动点C,那么A,B,C,x,Px确定的二次曲线系是二阶二次曲线系（过固定两点A,B的二阶二次曲线系）
猜想来源：
http://tieba.baidu.com/f?ct=3356 ... D%D1%A7#11121444182

发现上面这个猜测是错误的。所以关于二阶二次曲线系，我们还需要找一个更加好理解的模型

2011.2.28注:
虽然上面猜想不成立，但是现在发现，如果推广二阶二次曲线系的定义到三阶和四阶，那么我们有上面确定的二次曲线系是一个四阶二次曲线系。而如果A,B中有一个点在动点C的轨迹上（也是二次曲线），那么这个确定的二次曲线系就是一个三阶的二次曲线系。而如果A,B同时在动点C的轨迹上，那么这个确定的二次曲线系是一个二阶二次曲线系。(证明见48#）而这个结论正好可以用来解决上面百度链接中的问题。

mathe

另外我们前面都没有讨论目标曲线退化为两条相交直线的情况。对于这种情况的一个变换，直线一上的点会被映射到直线二，而直线二上映射到直线一。于是这个变换的平方是直线一上的圆锥变换。于是我们可以用这种方法定义直线上的圆锥变换（二次合同变换）。（这个方法好像只能定义直线上的部分二次合同变换，所以最好还是以下面的另外一个方法作为几何定义）

如图，L是目标直线，直线m和圆锥曲线C构成变换曲线，对于m上任意一点D向C引两条切线交L于P1,P2两点，那么P1和P2之间构成圆锥变换（或称为二次合同变换）。

于是对于任意同L相切的二次曲线C1,过P1和P2的C1的切线（除直线L)交于动点Q,于是Q点的轨迹是一条二次曲线o.(这个性质实际上代表了直线和圆锥曲线上二次合同变换的关系）