轨迹是否为圆

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过直线上成圆锥变换关系两点以及和定圆的根轴过定点的圆系是一个二阶的圆系。同样可以推广到过两个定点的二阶圆锥曲线系

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对于圆锥曲线的二次对合变换，其第一类变换曲线和目标曲线的四个交点构成了这个对合变换的一个特征，称为这个二次对合变换的第一特征。我们可以用这四个点构成的交比（如果四个点各不相同）代表这个特征，如果部分点重合，那么我们就使用它们相互之间的重合关系代表专业个特征。显然，对于目标圆锥曲线上的两个第一特征互不相同的二次对合变换，任意目标曲线上的射影变换不能将它们相互转化。而如果某个目标圆锥曲线上两个二次对合变换的第一特征相同，那么我们总可以通过一个射影变换使得变换以后它们的第一类变换曲线和目标曲线的四个交点相同，但是这时两个变换还不一定相同。而如果我们在经过平面上的射影变换，将目标曲线变换成双曲线xy=1,而目标曲线和第一类变换曲线的四个交点中两个分别映射到双曲线的两个无穷远点，而第三个交点映射为点(1,1),于是第一类变换曲线变换为曲线(x-a)(y-b)=(1-a)(1-b),于是根据前面的分析，我们知道如果第四个交点也重合，那么必然有a/b的比值是常数，所以这里a/b也同样代表了二次合同变换的第一特征。但是此外，我们还可以指定a+b为变换的另外一个特征，称为这个二次对合变换的第二特征。
于是，如果两次二次对合变换的第一特征和第二特征都相同，那么必然存在一个射影变换，将它们相互转化。反之，不存在射影变换将它们相互转化。

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好像链接:
http://sites.shu-bg.net/ggeorgiev/pdf/pdf_3.pdf
中内容讨论的对象有点类似，里面用了二次对合的概念(quadratic involution)

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整理一下:
圆锥曲线上的二次对合变换的定义一:
定圆锥曲线C1任意一条动切线交圆锥曲线C于P1和P2二个点，我们称P2为P1在目标曲线C上关于第一类变换曲线C1的二次对合变换的像（其中P1,P2的顺序可以任意指定，不同的指定方法得出两个不同的互逆的二次对合变换，同样对于任意点P1,可以有两个P2满足条件，分别在两个互逆的不同分支上）

二次对合变换定义二:
过定圆锥曲线C1上一动点做圆锥曲线C的两条切线分别切C于P1,P2两个点，我们称P2为P1在目标曲线C上关于第二类变换曲线C1的二次对合变换的像

二次对合变换定义三:
对于圆锥曲线C上一点P1,P1关于定圆锥曲线C1的极线交C于一点P2,那么我们称P2为P1在目标曲线C上关于第三类变换曲线C1的二次对合变换的像

二次对合变换定义四:
对于圆锥曲线C上一点P1,过P1点的切线关于定圆锥曲线C1的极点像C引一条切线切C于P2,那么我们称P2为P1在目标曲线C上关于第四类变换曲线C1的二次对合变换的像

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对偶的，我们有圆锥曲线的切线之间的二次对合变换，比如其第一定义就是
过定圆锥曲线C1上一动点向圆锥曲线C引两条切线p1,p2,那么我们称p2为p1在目标圆锥曲线C上关于第一类变换曲线C1的二次对合变换
等等。

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现在定义直线和线束上的二次对合变换:
直线上二次对合变换定义一：
给定直线l和圆锥曲线C1,C2,其中l为C1的切线，C2上任意动点关于C1的两条切线交直线l于P1,P2,那么我们称P2为P1在目标直线l上关于C1,C2的二次对合变换的像，简称P2为P1的二次对合变换的像。
而同一个二次对合变换对于每个元可以确定两个不同的像，我们成为这个二次对合变换的两个分支

对偶的，对于给定的点Q和过Q点的圆锥曲线C1,以及另外一条圆锥曲线C2,C2上动点的切线交C1于P1,P2两点，那么我们称直线QP2为直线QP1在过Q点线束中关于C1,C2的二次对合变换的像:

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以上各定义的逆定理都成立，也就是:
i)对于圆锥曲线C上一个二次对合变换T，连接C上任意一点P和像T(P)的直线同一个固定二次曲线相切
ii)对于圆锥曲线C上一个二次对合变换T,C上任意一点P和像T(P)处切线的交点在一个固定二次曲线上。
iii)对于圆锥曲线C上一个二次对合变换T,存在二次曲线C1使得对于C上任意一点P,像T(P)在P关于C1的极线上
iv)对于圆锥曲线C上一个二次对合变换T,存在二次曲线C1使得对于C上任意一点P处切线l,像T(P)处切线过l关于C1的极点。

v)对于直线l上任意一个二次对合变换T和一条同l相切的圆锥曲线C,过l上动点P和像T(P)的C的另外一条切线（不是l）的交点的轨迹是一条二次曲线
vi)对于过Q点的线束上的一个二次对合变换T和过Q点的圆锥曲线C,任意过Q点直线l和像T(l)同C交点的连线切一固定二次曲线。

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此外，我们需要讨论一些特殊的退化的二次对合变换
i)恒等变换是特殊的二次对合变换，它是在圆锥曲线的第一类变换曲线同自身重合时的结果。它是唯一一个有三个以上恒等元的二次对合变换（恒等元是指这个元的两个像都是自身）
ii)对合变换也是特殊的二次对合变换，它是在圆锥曲线的第一类变换曲线退化为两条直线时的结果。它相当于过两条直线交点的任意直线同目标曲线两个交点之间确定的对合变换。对合变换中任何一个元的两个像都相同。而对于普通的二次对合变换，最多有四个元的两个像都相同，这些为反射点。同样对于普通的二次对合变换，如果某个元的两个像中有一个是自身，我们称这样的点为驻点，而对于普通的二次对合变换，最多有四个驻点。

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此外，我们还有射影变换的保二次对合变换性，很显然，根据几何定义，我们可以得出，对圆锥曲线C（或直线l,线束Q）上任意一个射影变换，它将其上一个二次对合变换变换成另外一个二次对合变换。
同样，如果两个二次对合变换可以通过某个射影变换相互转化，我们称它们之间为合同的。
下图体现了线束间射影变换的保二次对合变换性（从线束Q到线束Q'):

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下面还有一个重要定理，就是共四点的两个一类二次对合变换曲线的复合变换还是共四点的二次对合变换。
如图目标曲线C和两个二次对合变换的第一类变换曲线C1,C2过公共四个点，那么对于目标曲线上动点A,过A点过于C1,C2的切线分别交目标曲线于B,C两个点，那么B,C两个点的连线必然同意固定二次曲线C3相切，而且C3也过这四个公共点。也就是C1,C3确定的变换的复合是C2确定的变换。（同样C3,C1确定的变换也是C2确定的变换，所以第一类变换曲线和目标曲线都过公共四点的那些变换也可以交换顺序）

同样，这个问题对应到圆的情况如下图:

其中三个圆有公共的根轴，于是AC必然相切于另外一个和它们有同样根轴的圆