轨迹是否为圆

mathe

于是对于类似49#的结论,如果我们用几何画板直接验证结果二次曲线系是二阶二次曲线系,那么需要任意选择一个点,然后验证这个点关于这个二次曲线系的极线相切也固定二次曲线(也就是这个极线的轨迹的包络线是二次曲线).当然通常来说,结果是包络线的比较难看,所以我们可以选择对这个问题的对偶问题进行作图,也就是任意给定两个二次曲线C1,C2,点P是C2上的定点,l,m是任意给定直线,Q是不在l上的定点.
C1的动切线交C2于M,N.直线PM,PN交直线l于点E,F.
那么同直线m,PM,PN,QE,QF都相切的二次曲线构成的二次曲线系(当切线MN移动时)必然是一个二阶二次曲线系的对偶图(二阶二次线列?).
于是对于平面上任意一个固定直线h,h关于这个二次曲线的极点的轨迹必然是二次曲线.特别的选择h为无穷远直线,那么就变成这个二次曲线系中每条二次曲线的中心O的轨迹是二次曲线,如图:

其中棕色虚曲线就是那个动二次曲线,而红色虚曲线为O的轨迹

mathe

射影平面上一个射影变换可以通过一个3*3可逆矩阵A表示，于是平面上任意一个点的齐次坐标
$x={:((x_1),(x_2),(x_3)):}$
被变换成$Ax$
但是对于一条直线的齐次坐标$X=[(X_1),(X_2),(X_3)]$,将被变换成$A'^{-1}X$
这个证明很简单，点x在直线X上的充分必要条件是它们齐次坐标的内积为0，也就是$X'x=0$
由于$X'A^{-1}Ax=X'x=0$,而点x变换为A,所以直线X变换为$A'^{-1}X$。
另外，对于射影平面上任意一个二次曲线，我们也可以将其方程写成$x'Ax=0$的二次型形式。
于是对于平面上任意个点$x_0$,这个点关于这条二次曲线的极线的齐次坐标正好是$Ax_0$.
所以从逻辑上来看，这种关于固定二次曲线的点到极线的变换我们可以看成是一种从平面到其对偶平面的射影变换。
同样，对于平面上任意一条直线$X_0$,于是这条直线关于这个二次曲线的极点的坐标为$A^{-1}X_0$
从这里，我们也可以马上推断出这条二次曲线所有切线满足的方程为$X'A^{-1}X=0$.
也就是任意二次曲线的矩阵表示的对偶表达形式就是对应矩阵的逆。
于是，如果我们有两条不同的二次曲线，对应矩阵分别为A,B,那么对于平面上任意一个点$x_0$,我们先关于二次曲线A
做极线，然后再做极线关于二次曲线B的极点，就可以得到射影平面上一个射影变换,变换阵为$B^{-1}A$

另外如果射影平面上一族带参数t的射影变换其矩阵的所有元素都是t的线性函数，或者我们可以将变换
矩阵写成$A+Bt$,那么我们称这一族射影变换为一阶点射影变换系。很显然，一阶点射影变换系对固定点变换的轨迹是一条直线。
而一阶点射影变换系的逆变换我们可以称为一阶线射影变换系，而一阶线射影变换系对固定直线变换的轨迹是一阶线束（就是过固定点的直线束）。

现在如果我们选择一族一阶二次曲线系（过固定四点的所有二次曲线），其对应矩阵可以写成A+Bt已经另外一条固定二次曲线,对应矩阵为C
对于平面上任意一点$x_0$,我们先做出这个点关于一阶二次曲线系中任意一曲线的极线，然后再做这极线关于C的极点，于是得到结果是$C^{-1}(A+Bt)$,
这是一个一阶点射影变换系。同样，如果我们对平面上一点$x_0$,先关于C做极线，然后将极线关于一阶二次曲线系中任意一曲线做极点，得到结果是$(A+Bt)^{-1}C$,
这是一个一阶线射影变换系。

现在我们可以证明如下定理：
任意一条固定二次曲线关于一族一阶线射影变换系变换结果是一族二阶二次曲线系。
证明，假设这族一阶线射影变换系的变换矩阵为$(A+Bt)^{-1}$,而固定二次曲线方程为$x'Cx=0$
对于曲线上任意一个点$x$,变换后的像为$y$,于是$y=(A+Bt)^{-1}x$或$x=(A+Bt)y$
于是我们得到$y'(A+Bt)'C(A+Bt)y=0$
所以变换后曲线方程对应矩阵为$(A+Bt)'C(A+Bt)$,显然展开后所有矩阵系数都最多是t的二次多项式。
所以射影变换结果是一族二阶二次曲线系。

mathe

给楼上结论也配个图，如图，A,B,C,D是固定四点，E是直线l上动点
所以过A,B,C,D,E五点而二次曲线构成一个一阶二次曲线系。
c1是一个定二次曲线，它上面每个点关于二次曲线ABCDE的极线相切于动二次曲线t.（或者t看成那些极线的轨迹）
Q是一个定点，Q关于t的极线是图上的虚线，于是根据楼上结论，这条虚线的轨迹也是二次曲线（也就是它相切于固定二次曲线）。
图中为了验证这个结论，再次做虚线关于c1的极点，并做这个极点的轨迹（关于动点E的轨迹），结果得到那条同c1相交的双曲线。