数学星空
发表于 2012-1-2 02:44:44
对于椭圆情形:
我们很容易转化为如下数学问题:
设椭圆盘半轴长分别为a,b,三个点电荷的平衡位置为A(a*cos(theta_1),b*sin(theta_1)),B(a*cos(theta_2),b*sin(theta_2)), C(a*cos(theta_3),b*sin(theta_3))
问题转化为求
(alpha*beta)/sqrt(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+
(alpha*gamma)/sqrt(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+
(gamma*beta)/sqrt(a^2*(sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)的最小值?
还有与之类似的问题:
(alpha*beta)/(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+
(alpha*gamma)/(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+
(gamma*beta)/(a^2*(sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)的最小值?
wayne
发表于 2012-1-2 19:15:53
31# 数学星空
嗯是的，
虽然算是解决了问题，但最后还要转换成三角形内角的关系式楼主才满意的，:)。。
数学星空
发表于 2012-1-5 21:36:07
本帖最后由 数学星空 于 2012-1-5 22:02 编辑
根据(a^2/x+b^2/y+c^2/z)*(x+y+z)>=(a+b+c)^2
又椭圆内接三角形最大周长问题已解决, 即x+y+z<=L(3)
根据极值的对称性:
我们可以得到:
猜想A: 椭圆内接N边形各边的倒数之和最小必须满足以下两个条件:
(1).N边形即为椭圆内接光反射N边形.
(2).当N为奇数时N边形有个顶点位于椭圆长半轴的其中一个端点上.
当N为偶数时N边形有两对顶点的连线平行于Y轴,并分别通过内切椭圆的长半轴的两个端点.
数学星空
发表于 2012-1-5 21:55:52
猜想B: N个点电荷平衡的条件(系统最小势能)
(1). N边形即为椭圆内接光反射N边形.
(2).当N为奇数时N边形有个顶点位于椭圆长半轴的其中一个端点上.
当N为偶数时N边形有两对顶点的连线平行于Y轴,并分别通过内切椭圆的长半轴的两个端点.
(3).设N个点电荷A_1,A_2,.....,A_n电量分别e_1,e_2,e_3,...,e_n
则构成N边形A_1A_2....A_n必须满足:
若A_k A_(k+1)>=A_(k+1) A_(k+2) , 则 e_k *e_(k+1)>=e_(k+1) *e_(k+2) (n-2>=k>=1)
数学星空
发表于 2012-1-5 22:14:19
本帖最后由 数学星空 于 2012-1-6 21:45 编辑
利用猜想B: 我们可以得到
椭圆内3个点电荷(电量设alpha>=beta>=gamma)平衡时的最小势能:
J(3)=(alpha*(beta+gamma))/sqrt(2*a^2-b^2+2*sqrt(b^4+a^4-a^2*b^2))+(2*(a^2-b^2)*beta*gamma)/(b^2*sqrt(-a^2+2*sqrt(b^4+a^4-a^2*b^2)-b^2))
数学星空
发表于 2012-1-5 22:21:03
本帖最后由 数学星空 于 2012-1-6 21:46 编辑
对于椭圆盘内4个点电荷(电量分别为e_1,e_2,e_3,e_4,且e_1*e_2>=e_3*e_4>=e_2*e_3>=e_4*e_1)
J(4)=(2*a^2*(e_1*e_2+e_3*e_4))/sqrt(a^2+b^2)+(2*b^2*(e_2*e_3+e_4*e_1))/sqrt(a^2+b^2)
数学星空
发表于 2012-1-5 22:30:57
本帖最后由 数学星空 于 2012-1-6 21:46 编辑
对于椭圆盘内6个点电荷(电量分别为e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6 且e_1*e_2>=e_2*e_3>=e_4*e_5>=e_5*e_6>=e3*e_4>=e_6*e_1)
则J(6)=((e_1*e_2+e_2*e_3+e_4*e_5+e_5*e_6)*(a^2+a*b))/(a+b)+(2*(e_3*e_4+e_6*e_1)*b^2)/(a+b)
数学星空
发表于 2012-1-5 23:07:02
对于另一类似的数学问题:
求(alpha*beta)/((sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+(alpha*gamma)/((sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+(gamma*beta)/((sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)的最小值?
通过求导: 设cos(theta1-theta_2)=k_3,cos(theta_2-theta_3)=k_1,cos(theta_3-theta_1)=k_2
我们很容易得到
alpha^2*(1-k_1)^3/(1+k_1)=beta^2*(1-k_2)^3/(1+k_2)=gamma^2*(1-k_3)^3/(1+k_3)
又根据几何关系有:
C=1/2*(theta_2-theta_1),B=pi-1/2*(theta_3-theta_1),A=1/2*(theta_3-theta_2)
计算得到:
(sinA)^2*tanA=(1-k_1)^3/(4*(1+k_1))
(sinB)^2*tanB=(1-k_2)^3/(4*(1+k_2))
(sinC)^2*tanC=(1-k_3)^3/(4*(1+k_3))
最终得到:alpha^2* (sinA)^2*tanA=beta^2*(sinB)^2*tanB=gamma^2*(sinC)^2*tanC
yinhow
发表于 2012-1-6 09:24:30
34# 数学星空
N>3是。电荷体系的势能还包括各对角线，情况复杂。
yinhow
发表于 2012-1-6 09:25:11
35# 数学星空
物理中电荷的势能与电荷距离的一次方成反比。