★山村数学难题

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对于椭圆情形:

我们很容易转化为如下数学问题:

设椭圆盘半轴长分别为$a,b$,三个点电荷的平衡位置为$A(a*cos(theta_1),b*sin(theta_1)),B(a*cos(theta_2),b*sin(theta_2)), C(a*cos(theta_3),b*sin(theta_3))$

问题转化为求

$(alpha*beta)/sqrt(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+$

$(alpha*gamma)/sqrt(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$

$(gamma*beta)/sqrt(a^2*(sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值?


还有与之类似的问题:

$(alpha*beta)/(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+$

$(alpha*gamma)/(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$

$(gamma*beta)/(a^2*(sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值?

wayne

31# 数学星空
嗯是的，
虽然算是解决了问题，但最后还要转换成三角形内角的关系式楼主才满意的，。。

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根据$(a^2/x+b^2/y+c^2/z)*(x+y+z)>=(a+b+c)^2$
又椭圆内接三角形最大周长问题已解决, 即$x+y+z<=L(3)$
根据极值的对称性:

我们可以得到:
猜想$A$: 椭圆内接$N$边形各边的倒数之和最小必须满足以下两个条件:
                (1).$N$边形即为椭圆内接光反射$N$边形.
                (2).当$N$为奇数时  $N$边形有个顶点位于椭圆长半轴的其中一个端点上.
                       当$N$为偶数时  $N$边形有两对顶点的连线平行于Y轴,并分别通过内切椭圆的长半轴的两个端点.

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猜想$B$: $N$个点电荷平衡的条件(系统最小势能)
             (1). $N$边形即为椭圆内接光反射$N$边形.
             (2).当$N$为奇数时  $N$边形有个顶点位于椭圆长半轴的其中一个端点上.
                   当$N$为偶数时  $N$边形有两对顶点的连线平行于Y轴,并分别通过内切椭圆的长半轴的两个端点.
             (3).设$N$个点电荷$A_1,A_2,.....,A_n$电量分别$e_1,e_2,e_3,...,e_n$
                    则构成$N$边形$A_1A_2....A_n$必须满足:
                     若$A_k A_(k+1)>=A_(k+1) A_(k+2)$ , 则 $e_k *e_(k+1)>=e_(k+1) *e_(k+2)$ $ (n-2>=k>=1) $

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利用猜想B: 我们可以得到
椭圆内$3$个点电荷(电量设$alpha>=beta>=gamma$)平衡时的最小势能:   
$J(3)=(alpha*(beta+gamma))/sqrt(2*a^2-b^2+2*sqrt(b^4+a^4-a^2*b^2))+(2*(a^2-b^2)*beta*gamma)/(b^2*sqrt(-a^2+2*sqrt(b^4+a^4-a^2*b^2)-b^2))$

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对于椭圆盘内$4$个点电荷(电量分别为$e_1,e_2,e_3,e_4$,且$e_1*e_2>=e_3*e_4>=e_2*e_3>=e_4*e_1$)
$ J(4)=(2*a^2*(e_1*e_2+e_3*e_4))/sqrt(a^2+b^2)+(2*b^2*(e_2*e_3+e_4*e_1))/sqrt(a^2+b^2)$

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对于椭圆盘内$6$个点电荷(电量分别为$e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6 $且$e_1*e_2>=e_2*e_3>=e_4*e_5>=e_5*e_6>=e3*e_4>=e_6*e_1$)
则$J(6)=((e_1*e_2+e_2*e_3+e_4*e_5+e_5*e_6)*(a^2+a*b))/(a+b)+(2*(e_3*e_4+e_6*e_1)*b^2)/(a+b)$

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对于另一类似的数学问题:

求$(alpha*beta)/((sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+(alpha*gamma)/((sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$$(gamma*beta)/((sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值?

通过求导: 设$cos(theta1-theta_2)=k_3,cos(theta_2-theta_3)=k_1,cos(theta_3-theta_1)=k_2$

我们很容易得到

$alpha^2*(1-k_1)^3/(1+k_1)=beta^2*(1-k_2)^3/(1+k_2)=gamma^2*(1-k_3)^3/(1+k_3)$

又根据几何关系有:

$C=1/2*(theta_2-theta_1),B=pi-1/2*(theta_3-theta_1),A=1/2*(theta_3-theta_2)$

计算得到:

$(sinA)^2*tanA=(1-k_1)^3/(4*(1+k_1))$

$(sinB)^2*tanB=(1-k_2)^3/(4*(1+k_2))$

$(sinC)^2*tanC=(1-k_3)^3/(4*(1+k_3))$

最终得到:$alpha^2* (sinA)^2*tanA=beta^2*(sinB)^2*tanB=gamma^2*(sinC)^2*tanC$

yinhow

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N>3是。电荷体系的势能还包括各对角线，情况复杂。

yinhow

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物理中电荷的势能与电荷距离的一次方成反比。