★山村数学难题

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对于椭圆情形: 我们很容易转化为如下数学问题: 设椭圆盘半轴长分别为$a,b$,三个点电荷的平衡位置为$A(a*cos(theta_1),b*sin(theta_1)),B(a*cos(theta_2),b*sin(theta_2)), C(a*cos(theta_3),b*sin(theta_3))$ 问题转化为求 $(alpha*beta)/sqrt(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+$ $(alpha*gamma)/sqrt(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$ $(gamma*beta)/sqrt(a^2*(sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值? 还有与之类似的问题: $(alpha*beta)/(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+$ $(alpha*gamma)/(a^2*(sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$ $(gamma*beta)/(a^2*(sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+b^2*(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值?

wayne

31# 数学星空 嗯是的， 虽然算是解决了问题，但最后还要转换成三角形内角的关系式楼主才满意的，。。

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根据$(a^2/x+b^2/y+c^2/z)*(x+y+z)>=(a+b+c)^2$ 又椭圆内接三角形最大周长问题已解决, 即$x+y+z<=L(3)$ 根据极值的对称性: 我们可以得到: 猜想$A$: 椭圆内接$N$边形各边的倒数之和最小必须满足以下两个条件: (1).$N$边形即为椭圆内接光反射$N$边形. (2).当$N$为奇数时 $N$边形有个顶点位于椭圆长半轴的其中一个端点上. 当$N$为偶数时 $N$边形有两对顶点的连线平行于Y轴,并分别通过内切椭圆的长半轴的两个端点.

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猜想$B$: $N$个点电荷平衡的条件(系统最小势能) (1). $N$边形即为椭圆内接光反射$N$边形. (2).当$N$为奇数时 $N$边形有个顶点位于椭圆长半轴的其中一个端点上. 当$N$为偶数时 $N$边形有两对顶点的连线平行于Y轴,并分别通过内切椭圆的长半轴的两个端点. (3).设$N$个点电荷$A_1,A_2,.....,A_n$电量分别$e_1,e_2,e_3,...,e_n$ 则构成$N$边形$A_1A_2....A_n$必须满足: 若$A_k A_(k+1)>=A_(k+1) A_(k+2)$ , 则 $e_k *e_(k+1)>=e_(k+1) *e_(k+2)$ $ (n-2>=k>=1) $

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利用猜想B: 我们可以得到 椭圆内$3$个点电荷(电量设$alpha>=beta>=gamma$)平衡时的最小势能: $J(3)=(alpha*(beta+gamma))/sqrt(2*a^2-b^2+2*sqrt(b^4+a^4-a^2*b^2))+(2*(a^2-b^2)*beta*gamma)/(b^2*sqrt(-a^2+2*sqrt(b^4+a^4-a^2*b^2)-b^2))$

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对于椭圆盘内$4$个点电荷(电量分别为$e_1,e_2,e_3,e_4$,且$e_1*e_2>=e_3*e_4>=e_2*e_3>=e_4*e_1$) $ J(4)=(2*a^2*(e_1*e_2+e_3*e_4))/sqrt(a^2+b^2)+(2*b^2*(e_2*e_3+e_4*e_1))/sqrt(a^2+b^2)$

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对于椭圆盘内$6$个点电荷(电量分别为$e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6 $且$e_1*e_2>=e_2*e_3>=e_4*e_5>=e_5*e_6>=e3*e_4>=e_6*e_1$) 则$J(6)=((e_1*e_2+e_2*e_3+e_4*e_5+e_5*e_6)*(a^2+a*b))/(a+b)+(2*(e_3*e_4+e_6*e_1)*b^2)/(a+b)$

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对于另一类似的数学问题: 求$(alpha*beta)/((sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+(alpha*gamma)/((sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$$(gamma*beta)/((sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值? 通过求导: 设$cos(theta1-theta_2)=k_3,cos(theta_2-theta_3)=k_1,cos(theta_3-theta_1)=k_2$ 我们很容易得到 $alpha^2*(1-k_1)^3/(1+k_1)=beta^2*(1-k_2)^3/(1+k_2)=gamma^2*(1-k_3)^3/(1+k_3)$ 又根据几何关系有: $C=1/2*(theta_2-theta_1),B=pi-1/2*(theta_3-theta_1),A=1/2*(theta_3-theta_2)$ 计算得到: $(sinA)^2*tanA=(1-k_1)^3/(4*(1+k_1))$ $(sinB)^2*tanB=(1-k_2)^3/(4*(1+k_2))$ $(sinC)^2*tanC=(1-k_3)^3/(4*(1+k_3))$ 最终得到:$alpha^2* (sinA)^2*tanA=beta^2*(sinB)^2*tanB=gamma^2*(sinC)^2*tanC$

yinhow

34# 数学星空 N>3是。电荷体系的势能还包括各对角线，情况复杂。

yinhow

35# 数学星空 物理中电荷的势能与电荷距离的一次方成反比。