★山村数学难题

chendu

点电荷三角形正弦－正切定理及两个未解决的难题       

          定理   三个同性点电荷α、β、γ位于水平放置的光滑玻璃圆盘内，在静电斥力和盘壁压力的共同作用下而平衡，构成△ABC，则△ABC为锐角三角形，且
        αsinAtanA＝βsinBtanB＝γsinCtanC．   

     难题1    三个同性点电荷α、β、γ位于水平放置的光滑玻璃椭圆盘（长半轴为a，短半轴为b）内，在静电斥力和盘壁压力的共同作用下而平衡，构成一个三角形，试确定该三角形的形状？

     难题2    在零重力空间，四个同性点电荷α、β、γ、δ位于光滑的玻璃球壳内，在静电斥力和壳壁压力的共同作用下而平衡，组成一个四面体的四顶点，试确定该四面体的形状？

wayne

1# chendu
有两点疑问：
1) α、β、γ 是啥物理量， 是电量吗
2) 在静电斥力和盘壁压力的共同作用下而平衡,这个平衡是什么平衡？
总感觉不一定 是静态的稳定的平衡。 有可能是不稳定的平衡，即稍微一碰，就会做无休止的周期运动， 类似于简谐运动的那种。

yinhow

2# wayne


不用考虑力的平衡，求体系电势能极小值就行，很容易编程数值计算。

yinhow

1# chendu


我有空让物理系的学生算算，作为他们的学生科研项目

wayne

3# yinhow
行家出手了，
就是不一样，
从体系势能的角度来计算，更容易抓出物理关系来。

本坛子好像没怎么讨论物理题，呵呵

wayne

3# yinhow
我一时不知道怎么计算体系势能了， 。

是不是这样计算
===========
固定其中的两点，让一点远离到无穷处， 释放 k q1*q2/r12 + k q2*q3/r23
再固定其中的一点，让另一点远离，释放  k q3*q1/r31
所以，体系势能有 - k q1*q2/r12 - k q2*q3/r23 - k q3*q1/r31

wayne

2# wayne
不用考虑力的平衡，求，很容易编程数值计算。
yinhow 发表于 2011-12-30 23:50

既然是行家出手，我想为自己辩护一下。

一般我们说的平衡，或者在楼主所说的情况下的平衡，一定都是体系电势能取极小值的情况 吗

wayne

7# wayne
物体的平衡分三大类：
稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
从势能的角度描述，我觉得分别对应的是 体系 势能取极小值，极大值，以及恒定值的情形

风云剑

系统势能的极小值。以前数值计算做过这个题，不过是N个等电量质点。
感觉不稳定平衡不一定是势能极大值。

wayne

9# 风云剑
呵呵，我对 不稳定平衡 也纠结过，现在尚无定论。

不稳定的话，怎么又能平衡呢。
所谓稳定性，就是给物体一个极小的扰动，如果还能呆在老地方，就叫稳定，否则不稳定。
所谓平衡， 应该源自力学里的概念，具体就是受力平衡。

受力平衡的时候势能不一定是取最小值的。
比如：过山车，物体到了最高点，刚好速度为0，不动了。。。