★山村数学难题

数学星空

呵,跑题了....

chendu

感谢wayne、yinhow、zeroieme、风云剑、数学星空等几位老师对敝题的探讨。结论如下：
（1）        点电荷处于稳定平衡状态；
（2）        符合最小作用量原理，平衡时，电荷系的静电势能达到极(最)小值。

题目看起来简单，做起来难。老师们如有兴趣，最好亲自动手做一做。

值此元旦佳节，衷心祝愿各位老师健康、快乐！

chendu

三角形等力点向四面体的“移植”

多年前，我曾做过下列

难题0   电荷量为α、β、γ的三个正点电荷分别位于边长为a、b、c的△ABC的三顶点，在什么位置引入一个怎样的点电荷，才能使包括引入电荷在内的四个点电荷因静电作用而平衡？

答案  （1）当△ABC的最大角≥120°时，本题无解：
（2）当△ABC的最大角＜120°时,本题有唯一解：在△ABC的正等力点引入一个负点电荷，电荷量q=－(αa³+βb³+γc³)/f³,其中f²= (a²+b²+c²+4√3△)/2, △是△ABC的面积。

难题1   电荷量为α、β、γ、δ的四个正点电荷分别位于棱长为a、x，b、y，c、z的四面体ABCD的四顶点，在什么位置引入一个怎样的点电荷，才能使包括引入电荷在内的五个点电荷因静电作用而平衡？（不考虑重力）

【注】等力点，叫“衡点”似更恰当，因为只有一维情形才“等力”。

wayne

21# 数学星空

wayne

22# chendu
将三角形的三个点 用参数形式表达，代入到体系势能的表达式中。
分别对这三个角度参数求偏导。

即可求得，稍稍算了一下，表达式其实一点都不复杂。

yinhow

23# chendu


1，物理上还可以考虑旋转效应，譬如通过这个点（电荷）且垂直于原来三角形所在平面的轴旋转，力的平衡除了库伦力，还必须考虑离心力，题目就复杂了
2，下面我给出大于12个同种同量电荷限制在单位圆盘内极小电势能的位形，极小位形不再是正N变形。
如果不同量，是否变化更多？

数学星空

TO  yinhow:
那针对本题椭圆情形,能给出表达式吗??
图文并茂当然更好!

yinhow

27# 数学星空


估计解析表达式没有，或者可以从最简单的三个同量电荷考虑，即椭圆内接三角形，边长倒数之和为最下的三角形。

zeroieme

26# yinhow


离心力不是严格的物理术语。
电系统考虑的是电荷作用力和质量惯性及质量引力。

数学星空

为了便于我们使用数学方法来研究,先将物理问题转化为数学问题(三个点电荷$alpha,beta,gamma$)

对于圆盘情形:设圆盘半径为$R$,三个点电荷的平衡位置为$A(R*cos(theta_1),R*sin(theta_1)),B(R*cos(theta_2),R*sin(theta_2)), C(R*cos(theta_3),R*sin(theta_3))$

问题转化为:

求$(alpha*beta)/sqrt((sin(theta_1)-sin(theta_2))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_2))^2)+(alpha*gamma)/sqrt((sin(theta_1)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_1)-cos(theta_3))^2)+$$(gamma*beta)/sqrt((sin(theta_2)-sin(theta_3))^2+(cos(theta_2)-cos(theta_3))^2)$的最小值?

通过求导: 设$cos(theta_1-theta_2)=k_3,cos(theta_2-theta_3)=k_1,cos(theta_3-theta_1)=k_2$

我们很容易得到

$alpha^2*(1-k_1)^2/(1+k_1)=beta^2*(1-k_2)^2/(1+k_2)=gamma^2*(1-k_3)^2/(1+k_3)$

又根据几何关系有:

$C=1/2*(theta_2-theta_1),B=pi-1/2*(theta_3-theta_1),A=1/2*(theta_3-theta_2)$

计算得到:

$(sinA*tanA)^2=(1-k_1)^2/(2*(1+k_1))$

$(sinB*tanB)^2=(1-k_2)^2/(2*(1+k_2))$

$(sinC*tanC)^2=(1-k_3)^2/(2*(1+k_3))$

最终得到:$alpha* sinA*tanA=beta*sinB*tanB=gamma*sinC*tanC$