超级几何难题：六个圆柱相交问题
空间中有六个完全一样的半径为 1 的圆柱，它们两两之间的轴线以相同的角度斜交。求相交部分实体的表面积和体积各是多少？ 表面积是$24(2-\sqrt{2})$,体积是$8(2-\sqrt{2})$RegionMeasure,3]
RegionMeasure, 2] 本帖最后由 hejoseph 于 2025-4-25 12:19 编辑
wayne 发表于 2025-4-25 07:43
表面积是$24(2-\sqrt{2})$,体积是$8(2-\sqrt{2})$
不是这个，看这里
https://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html
最后一个就是，上面算的是三个互相垂直的等圆柱相交部分的几何体，即链接里的第二个几何体。 这个也就是6个相同的圆柱体，其轴线各自穿过正十二面体6组相对面的中心，形成的交集。 正十二面体参考图 本帖最后由 hejoseph 于 2025-4-25 22:05 编辑
#1的几何体大概是这样的
运行以下代码可得到
f:=((X^2+Y^2+Z^2) (x^2+y^2+z^2)-(X x+Y y+Z z)^2)/(X^2+Y^2+Z^2)
C0:=Sqrt/2
V1:={C0,0,C0}
V2:={C0,0,-C0}
V3:={C0,C0,0}
V4:={C0,-C0,0}
V5:={0,C0,C0}
V6:={0,C0,-C0}
f1:=f,Part,Part]
f2:=f,Part,Part]
f3:=f,Part,Part]
f4:=f,Part,Part]
f5:=f,Part,Part]
f6:=f,Part,Part]
fAll:=f1<=1&&f2<=1&&f3<=1&&f4<=1&&f5<=1&&f6<=1
RegionPlot3D
#4的几何体大概是这样的
运行以下代码可得到
f:=((X^2+Y^2+Z^2) (x^2+y^2+z^2)-(X x+Y y+Z z)^2)/(X^2+Y^2+Z^2)
C0:=(1+Sqrt)/4
V1:={1/2,0,C0}
V2:={-1/2,0,C0}
V3:={C0,1/2,0}
V4:={-C0,1/2,0}
V5:={0,C0,1/2}
V6:={0,-C0,1/2}
f1:=f,Part,Part]
f2:=f,Part,Part]
f3:=f,Part,Part]
f4:=f,Part,Part]
f5:=f,Part,Part]
f6:=f,Part,Part]
fAll:=f1<=1&&f2<=1&&f3<=1&&f4<=1&&f5<=1&&f6<=1
RegionPlot3D
三个互相垂直的圆柱的图
运行以下代码可得到
f:=((X^2+Y^2+Z^2) (x^2+y^2+z^2)-(X x+Y y+Z z)^2)/(X^2+Y^2+Z^2)
V1:={1,0,0}
V2:={0,1,0}
V3:={0,0,1}
f1:=f,Part,Part]
f2:=f,Part,Part]
f3:=f,Part,Part]
fAll:=f1<=1&&f2<=1&&f3<=1
RegionPlot3D
可以用链接里的方法去求体积和表面积
第一个几何体是由一个截顶正八面体补上一些圆柱片而成的，如下两个图
第二个几何体是由菱形三十面体补上一些圆柱片而成的，如下个图
再仔细计算一下就可以了，不过计算会很麻烦 CAD精确作图视觉展示 直接改成：求以过正多面体的中心和顶点为轴，半径为1的圆柱公共部分的表面积和体积。
正八面体的已经求出来了。正十二面体的最复杂。 hejoseph 发表于 2025-4-25 22:02
#1的几何体大概是这样的
运行以下代码可得到
4#所述问题的应该是8#的图