N^2 - Sqrt Sin], 1 > B > 0}, {B}], 20]
{5.2111025509279785862, {B -> 0.64488071264604151076}} nyy 发表于 2025-4-25 22:04
这个问题用解析几何的办法如何求解呢？
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：
用了余弦定理
4*AP*AP=384-4BC*BC-AB*AB
外加微积分
答案确实是2sqrt(13)-2 Gongwen0519 发表于 2025-4-27 15:15
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：
余弦定理、三角函数、外加求导就可以了 本帖最后由 Jack315 于 2025-4-28 07:12 编辑
如图所示：
圆 O 的半径为 \(r=4\)，\(AB=4\sqrt{3}\) 为圆 O 上的弦。
C 点在圆 O 上移动，P 点相应地在弦 BC 上移动，
使得 \(AC=2BP=2a\) 以及 \(\angle ACB=60\degree\) 。
设 \(\angle ABC=\theta\)，则有：
\(PE=a\sin{\theta}\)，\(BE=a\cos{\theta}\) 。
\(CD=2a\sin{(120\degree-\theta)}=2a\cos{(30\degree-\theta)}\)
\(AD=2a\cos{(120\degree-\theta)}=-2a\sin{(30\degree-\theta)}\)
\(BD=AB-AD=AB+2a\sin{(30\degree-\theta)}\)
\(\frac{BE}{BD}=\frac{PE}{CD}\rightarrow a=\frac{AB}{\sqrt{3}}\sin{\theta}\)
应用余弦定理，并将 \(a\) 代入得：
\(AP=\sqrt{a^2+AB^2-2\cdot a\cdot AB\cdot \cos{\theta}}=AB\sqrt{\frac{7}{6}-\frac{\sqrt{13}}{6}\sin{(2\theta+\alpha)}}\)
其中：\(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{13}}\)，\(\cos{\alpha}=\frac{6}{\sqrt{39}}\)，\(\alpha=16.1021\degree\)。
当 \(\theta=36.9489\degree\) 时，\(AP_{min}=AB\sqrt{\frac{7-\sqrt{13}}{6}}=AB\frac{\sqrt{13}-1}{2\sqrt{3}}=2\sqrt{13}-2\)。
当 \(\theta=126.9489\degree\) 时，\(AP_{max}=AB\sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{6}}=AB\frac{\sqrt{13}+1}{2\sqrt{3}}=2\sqrt{13}+2\)。 Jack315 发表于 2025-4-28 00:15
如图所示：
圆 O 的半径为 \(r=4\)，\(AB=4\sqrt{3}\) 为圆 O 上的弦。
正确的数字——{B -> 36.948943124006992358, BP -> 2.4044124469606048668, AP -> 5.2111025509279785862}
N/Sin == 2 BP/Sin, 4 Sqrt/Cos == BP/Cos == AP/Sin, 60 > B > 0}, {B, BP, AP}], 20] 根据正弦定理可以得到$a=4sin(\theta)$,于是过B点AB垂线和过P点BC垂线交于定点 Gongwen0519 发表于 2025-4-27 15:15
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：
今天忘记了解析几何求解
下次上电脑的时候要记着 Gongwen0519 发表于 2025-4-27 15:15
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：
我用电脑计算的P点轨迹，以AB中点为原点。
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*点坐标赋值*)
{xa,ya}={-2*Sqrt,0}
{xb,yb}={ 2*Sqrt,0}
{xo,yo}={0,2}(*C点所在圆的圆心*)
ans=Eliminate[{
(xc-xo)^2+(yc-yo)^2==4^2,(*C点方程*)
Det[{{xc,yc,1},{xp,yp,1},{xb,yb,1}}]==0,(*CPB三点共线*)
((xc-xa)^2+(yc-ya)^2)==2^2*((xp-xb)^2+(yp-yb)^2) (*CA=2BP*)
},{xc,yc}]
aaa=ans[]-ans[](*等式左边的减去右边的*)
bbb=Factor](*分解因式*)
ccc=ContourPlot
求解结果
\[-\left(-\text{xp}^2+4 \sqrt{3} \text{xp}-\text{yp}^2\right) \left(-\text{xp}^2+4 \sqrt{3} \text{xp}-\text{yp}^2-4 \text{yp}-12\right) \left(-\text{xp}^2+4 \sqrt{3} \text{xp}-\text{yp}^2+4 \text{yp}-12\right)=0\]
绘图结果
多出来两个圆，不知道怎么解释。 nyy 发表于 2025-5-16 10:19
我用电脑计算的P点轨迹，以AB中点为原点。
上面的情况报告了C点在x轴下方的情况，
包含了P点在CB延长线上的情况！
所以有增根。
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