初中几何求AP的最小值？

王守恩

\(∠ABC = B,  \frac{AC}{\sin(B)}=\frac{AB}{\sin(60)}, (AC/2)^2+AB^2-AC*AB\cos(B)=AP^2\)

N[Minimize[{4 Sqrt[3 + Sin[B]^2 - Sqrt[3] Sin[2 B]], 1 > B > 0}, {B}], 20]

{5.2111025509279785862, {B -> 0.64488071264604151076}}

Gongwen0519

nyy 发表于 2025-4-25 22:04
这个问题用解析几何的办法如何求解呢？

用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：

xwkseu

用了余弦定理
4*AP*AP=384-4BC*BC-AB*AB
外加微积分
答案确实是2sqrt(13)-2

xwkseu

Gongwen0519 发表于 2025-4-27 15:15
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：

余弦定理、三角函数、外加求导就可以了

Jack315

如图所示：

圆 O 的半径为 \(r=4\)，\(AB=4\sqrt{3}\) 为圆 O 上的弦。
C 点在圆 O 上移动，P 点相应地在弦 BC 上移动，
使得 \(AC=2BP=2a\) 以及 \(\angle ACB=60\degree\) 。
设 \(\angle ABC=\theta\)，则有：

\(PE=a\sin{\theta}\)，\(BE=a\cos{\theta}\) 。
\(CD=2a\sin{(120\degree-\theta)}=2a\cos{(30\degree-\theta)}\)
\(AD=2a\cos{(120\degree-\theta)}=-2a\sin{(30\degree-\theta)}\)

\(BD=AB-AD=AB+2a\sin{(30\degree-\theta)}\)
\(\frac{BE}{BD}=\frac{PE}{CD}\rightarrow a=\frac{AB}{\sqrt{3}}\sin{\theta}\)

应用余弦定理，并将 \(a\) 代入得：
\(AP=\sqrt{a^2+AB^2-2\cdot a\cdot AB\cdot \cos{\theta}}=AB\sqrt{\frac{7}{6}-\frac{\sqrt{13}}{6}\sin{(2\theta+\alpha)}}\)
其中：\(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{13}}\)，\(\cos{\alpha}=\frac{6}{\sqrt{39}}\)，\(\alpha=16.1021\degree\)。

当 \(\theta=36.9489\degree\) 时，\(AP_{min}=AB\sqrt{\frac{7-\sqrt{13}}{6}}=AB\frac{\sqrt{13}-1}{2\sqrt{3}}=2\sqrt{13}-2\)。
当 \(\theta=126.9489\degree\) 时，\(AP_{max}=AB\sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{6}}=AB\frac{\sqrt{13}+1}{2\sqrt{3}}=2\sqrt{13}+2\)。

王守恩

Jack315 发表于 2025-4-28 00:15
如图所示：

圆 O 的半径为 \(r=4\)，\(AB=4\sqrt{3}\) 为圆 O 上的弦。

正确的数字——{B -> 36.948943124006992358, BP -> 2.4044124469606048668, AP -> 5.2111025509279785862}

N[Solve[{4 Sqrt[3]/Sin[Pi/3] == 2 BP/Sin[B Pi/180], 4 Sqrt[3]/Cos[B Pi/180] == BP/Cos[2 B Pi/180] == AP/Sin[B Pi/180], 60 > B > 0}, {B, BP, AP}], 20]

mathe

根据正弦定理可以得到$a=4sin(\theta)$,于是过B点AB垂线和过P点BC垂线交于定点

nyy

Gongwen0519 发表于 2025-4-27 15:15
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：

今天忘记了解析几何求解
下次上电脑的时候要记着

nyy

Gongwen0519 发表于 2025-4-27 15:15
用纯解析几何求解，无疑是个苦活（求解过程超级繁琐）：

我用电脑计算的P点轨迹，以AB中点为原点。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*点坐标赋值*)
   
3. {xa,ya}={-2*Sqrt[3],0}
   
4. {xb,yb}={ 2*Sqrt[3],0}
   
5. {xo,yo}={0,2}(*C点所在圆的圆心*)
   
6. ans=Eliminate[{
   
7.     (xc-xo)^2+(yc-yo)^2==4^2,(*C点方程*)
   
8.     Det[{{xc,yc,1},{xp,yp,1},{xb,yb,1}}]==0,(*CPB三点共线*)
   
9.     ((xc-xa)^2+(yc-ya)^2)==2^2*((xp-xb)^2+(yp-yb)^2) (*CA=2BP*)
   
10. },{xc,yc}]
    
11. aaa=ans[[1]]-ans[[2]](*等式左边的减去右边的*)
    
12. bbb=Factor[aaa,Extension->Sqrt[3]](*分解因式*)
    
13. ccc=ContourPlot[bbb==0,{xp,-5,8},{yp,-5,5},AspectRatio->Automatic]
    

复制代码

求解结果
\[-\left(-\text{xp}^2+4 \sqrt{3} \text{xp}-\text{yp}^2\right) \left(-\text{xp}^2+4 \sqrt{3} \text{xp}-\text{yp}^2-4 \text{yp}-12\right) \left(-\text{xp}^2+4 \sqrt{3} \text{xp}-\text{yp}^2+4 \text{yp}-12\right)=0\]

绘图结果

多出来两个圆，不知道怎么解释。

nyy

nyy 发表于 2025-5-16 10:19
我用电脑计算的P点轨迹，以AB中点为原点。

上面的情况报告了C点在x轴下方的情况，
包含了P点在CB延长线上的情况！
所以有增根。