初中几何求AP的最小值？

nyy

初中几何求AP的最小值？

nyy

我初中从来没有学过隐圆模型，
为什么网络上看到的初中几何都那么难？

nyy

答案是2√13-2

Gongwen0519

这道初中几何不容易吧？

结果应该是：$\frac{(\sqrt{13}-1)\sqrt{3}}{6}AB$

当$AB=4\sqrt {3}$ 时，$AP_{min}=2\sqrt{13}-2$

王守恩

∠ABC = B,  ∠APC = 90 - B,  利用角分线定理。

Solve[{4 Sqrt[3] Cot[2 B] == 2, 4 Sqrt[3] Tan[B] == AP, 1 > B > 0}, {B, AP}] // FullSimplify

{{B -> 1/2 ArcTan[2 Sqrt[3]], AP -> 2 (Sqrt[13] - 1)}}

Gongwen0519

试试看能上传图片（P点的轨迹为下图红色圆的左半部分）

nyy

这个问题用解析几何的办法如何求解呢？

nyy

王守恩 发表于 2025-4-25 19:34
∠ABC = B,  ∠APC = 90 - B,  利用角分线定理。

Solve[{4 Sqrt[3] Cot[2 B] == 2, 4 Sqrt[3] Tan == AP,  ...

没看懂，好好解释一下

王守恩

∠ABC = B,  ∠APC = 90 - B,  利用角分线定理。

Solve[{4 Sqrt[3] Cot[2 B] == 2, 4 Sqrt[3] Tan[B] == AP, 1 > B > 0}, {B, AP}] // FullSimplify

{{B -> 1/2 ArcTan[2 Sqrt[3]], AP -> 2 (Sqrt[13] - 1)}}

Minimize[{4 Sqrt[3] Tan[B], 4 Sqrt[3] Cot[2 B] == 2, 1 > B > 0}, {B}] // FullSimplify

{2 (Sqrt[13] - 1), {B -> 1/2 ArcTan[2 Sqrt[3]]}}

N[Minimize[{(4 Sqrt[3] Sin[B])/Sin[A], Sin[A - B]/Sin[A] == Sin[B]/(2 Sin[Pi/3]), 1 > A > B > 0}, {A, B}], 20]

{5.2111025509279785862, {A -> 0.92591561414805146626, B -> 0.64488071264558685704}}

N[(0.92591561414805146626488490663993277023 + 0.64488071264558685704275716666897423117)*180/Pi, 10]

90.00000000

一步一步倒退出来的。

nyy

王守恩 发表于 2025-4-26 08:55
∠ABC = B,  ∠APC = 90 - B,  利用角分线定理。

Solve[{4 Sqrt[3] Cot[2 B] == 2, 4 Sqrt[3] Tan == AP,  ...

这个过程是你猜出来的吗？