对于曲线x^3+y^3+z^3-nxyz=0, 我们可以看到z=0,x=1，y=-1是一个flex point
于是P(1,-1,0)
由于对x偏导数为3x^2-nyz, 所以Px=3, Py=3, Pz=n
于是切线方程为3(x-1)+3(y+1)+nz=0, 取Q(1, -n-1,3)!=P
于是我们可以选择M=~, 这个矩阵总是不可逆。
选择~=M~~
得到
-3U^2-3U-3nU+n^3-3n^2-28+(-3n-6)UV+(-3n^3+3n^2-6n+78)V+(3n^3-3n^2-3n-84)V^2+(-n^3+27)V^3=0
在n!=3时已经是比较好的形式了，只需在放缩变换将V^3和U^2的系数变化为不同号的1,-1即可。
替换后可以获得方程
wayne 发表于 2025-4-29 08:19
我公布一下原题的出处, 一个日本的网站, https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de16-2.html ...
根据这个链接,发现 n=-16的时候,有两个生成元.
一个是
[-1, -4, 16]
[-64124694271, 310395971596, 1032033824624]
[-4893306933054626839935, 52153475413141008400, 670135462607552256]
[-309727782747740298377905320200959, -1488006822299458885305469085353964, 4926564813760583403012242459930224]
[-92429599778781863556800203876431002557599439441309144478684343809, 542378684129374465133209541763751524711720266780202977407170547684, 1496618916290661118185682966646623905046569606941793280539595694864]
[-538695247596831669676024422202012565054642651927908128522933712906694451828788664276225, 10503925013817953772243408054221845957702842156170143258493938494172815402113953120224, 297682282254743425154112282229831532252831182586068814171812208945114515627287249920]
[-2160097663374616838344166941103783731824325396610173324134394364526383773741717701607806644750315506938428929, -12442020789578611157334022121615190498991788458427464008112996790651840693838339070204571898994841364528762916, 34149576122219552827460377448519764806693616036485650688138141632748127730002166879820782830013649306740450576]
另一个是
[-50, -52, 845]
[-28295661409207968262508533, 4193474265787165424743990, 262256745936914053756195700]
[-8123438996985263431037348322186227858159958600, -78239837624728339495005266620273177896270341184, 5053693231290779254321344545062495562150549185]
[-460698701185586698046523704485165436582450178781084017364529251343926515912984664113615477518120148943687226189434427907759664175908256277461950, 28129247566357078266351726976193971102623143533132266287180335799604305098090786544419871333946251215359810959372024722197456153010382672403628, 56254842977799345193797499554241483049243135715767975343672268941700363863975679217185921909707783318560730443616386665913755454993449147235365]
[-1083496690609353687175441397067596714112645472156960579189178099249093457402178806175719955132617813910311044386501726114194190356125857020036014767909220546948076278491850836717389131520, -30756453128790485950390079582954472770541689356694234195904098007204048881665954035449705114621408594648028407968611185950116237223157395455064676854185952043723368250783887938443398180225, 15178627389386288720622891283681908297928719440725951557989305383089973880082142216061544943006355340338769884024386700824798897131938156805769250715261313569915236052629340877136263244944]
[-10266464642149097449716841107573387096351293382291474227731405552383083118114743832285939468419064767138761643978181763442344119931233333437996865178303236418087028558791904325833601624994257450661869667453514780174640177472192812428758604404005271105350995715292432303063113281044641170872500, 30859575472404828772535153602172148700540322203488125753924116186416815122380099918115299504290007092838281769558394164359507647232671612632250147258587958954508859855026009347029549445834193175298024768455225698953707256404699560948772570631762713761303209292308587934150803470612096003396976, 162794084960075657085469833906947217806863866811914630487552767709289119866305486158921580897995737126485800471257196080861305859900803379233311067928848270299945868374693394746827090740408780479834731972360587458961427902920599371814711181462727893907707388478387010229241515696754748568649025] n=-16,-25,-49,-60,-72,-88,-92,-95,-116,-120,-129,-130,-135,-140,-149,-152,-160,-179,-180,-181,-193,-195,-196 都至少是两个生成元.
n=-244的时候有三个生成元.https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de16-5.html
页:
1
[2]