x/y+y/z+z/x=n的整数解

wayne

我公布一下原题的出处, 一个日本的网站, https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de16-2.html

mathe

论文https://people.tamu.edu/~rojas//cubic2weierstrass.pdf 给出了变换过程
对于曲线x^3+y^3+z^3-nxyz=0, 我们可以看到z=0,x=1，y=-1是一个flex point
于是P(1,-1,0)

由于对x偏导数为3x^2-nyz, 所以Px=3, Py=3, Pz=n
于是切线方程为3(x-1)+3(y+1)+nz=0, 取Q(1, -n-1,3)!=P
于是我们可以选择M=[1,-1,0;1,-n-1,3;n,-1,-3]~, 这个矩阵总是不可逆。
选择[X,Y,Z]~=M~[U,V,T]~
得到
-3U^2-3U-3nU+n^3-3n^2-28+(-3n-6)UV+(-3n^3+3n^2-6n+78)V+(3n^3-3n^2-3n-84)V^2+(-n^3+27)V^3=0
在n!=3时已经是比较好的形式了，只需在放缩变换将V^3和U^2的系数变化为不同号的1,-1即可。
替换后可以获得方程

wayne

wayne 发表于 2025-4-29 08:19
我公布一下原题的出处, 一个日本的网站, https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de16-2.html ...

根据这个链接,发现 n=-16的时候,有两个生成元.
一个是

1. [-1, -4, 16]
   
2. [266175, -31752, 4160]
   
3. [-64124694271, 310395971596, 1032033824624]
   
4. [-4893306933054626839935, 52153475413141008400, 670135462607552256]
   
5. [-309727782747740298377905320200959, -1488006822299458885305469085353964, 4926564813760583403012242459930224]
   
6. [6178126832289801483340225911040171550558406211777, -676920397457290502730666697146299704696413103080, 98259768961991979861323396190271599869862628800]
   
7. [-92429599778781863556800203876431002557599439441309144478684343809, 542378684129374465133209541763751524711720266780202977407170547684, 1496618916290661118185682966646623905046569606941793280539595694864]
   
8. [-538695247596831669676024422202012565054642651927908128522933712906694451828788664276225, 10503925013817953772243408054221845957702842156170143258493938494172815402113953120224, 297682282254743425154112282229831532252831182586068814171812208945114515627287249920]
   
9. [-2160097663374616838344166941103783731824325396610173324134394364526383773741717701607806644750315506938428929, -12442020789578611157334022121615190498991788458427464008112996790651840693838339070204571898994841364528762916, 34149576122219552827460377448519764806693616036485650688138141632748127730002166879820782830013649306740450576]
   
10. [3225993159523649172383912257095063099713063308141728143661109170641406851713408579264167978700860509589277406430143983258806417657194175, -327453152300445720157717049809707815473307072622923757050540389483876475837980337084737940688980787576283899961017508434081588884905000, 53117490838447291838986199727420106867688613448688355627380601190096669675607197881282095046537726753261399857474766656033420564616768]

复制代码

另一个是

1. [-50, -52, 845]
   
2. [236047925520, -207122140225, 13882964004]
   
3. [-28295661409207968262508533, 4193474265787165424743990, 262256745936914053756195700]
   
4. [-8123438996985263431037348322186227858159958600, -78239837624728339495005266620273177896270341184, 5053693231290779254321344545062495562150549185]
   
5. [5730254267067304337961213089453672935866234291259765604791404912605266900, -320553084877934331525224376391194864154215215464642624011094724537808125, 10919027684477012715467822968846596653421754226272212332193815699993444282]
   
6. [6926385137387648243757594512879208455320426311437229266724740332175298468914701306988476318641422448961, -4280339078170484549729837343210475552947237598398717951013580632238463836831214655883570649019841194801260, 125473056423233305990163485267274458703482170335212347246191429190750195446078530697311759112819602892400]
   
7. [-460698701185586698046523704485165436582450178781084017364529251343926515912984664113615477518120148943687226189434427907759664175908256277461950, 28129247566357078266351726976193971102623143533132266287180335799604305098090786544419871333946251215359810959372024722197456153010382672403628, 56254842977799345193797499554241483049243135715767975343672268941700363863975679217185921909707783318560730443616386665913755454993449147235365]
   
8. [-1083496690609353687175441397067596714112645472156960579189178099249093457402178806175719955132617813910311044386501726114194190356125857020036014767909220546948076278491850836717389131520, -30756453128790485950390079582954472770541689356694234195904098007204048881665954035449705114621408594648028407968611185950116237223157395455064676854185952043723368250783887938443398180225, 15178627389386288720622891283681908297928719440725951557989305383089973880082142216061544943006355340338769884024386700824798897131938156805769250715261313569915236052629340877136263244944]
   
9. [4322678034400508261518053329262018872473677051409604999383376679095044937466935317622442677661869723698655539988610775005043222953548178496091238955263441271002962565290200384617461260276399922907351697590438566664114449383114923752500013, -373937377915035750593224746634737829465098454445757940218505885788380820095240264374247828554866913968428477401153987147682674019563303745044736940378943771144226613841816032243308224484713368965485434855188881766072246942574268728629570, 83851863823884961409617536638686049022889367358937107368750696363004462630607416362613723187808893945030238869977690129543548249411104803131716615528332523968729702125685797304053477360952134234152123710698513055343199516444241279730700]
   
10. [-10266464642149097449716841107573387096351293382291474227731405552383083118114743832285939468419064767138761643978181763442344119931233333437996865178303236418087028558791904325833601624994257450661869667453514780174640177472192812428758604404005271105350995715292432303063113281044641170872500, 30859575472404828772535153602172148700540322203488125753924116186416815122380099918115299504290007092838281769558394164359507647232671612632250147258587958954508859855026009347029549445834193175298024768455225698953707256404699560948772570631762713761303209292308587934150803470612096003396976, 162794084960075657085469833906947217806863866811914630487552767709289119866305486158921580897995737126485800471257196080861305859900803379233311067928848270299945868374693394746827090740408780479834731972360587458961427902920599371814711181462727893907707388478387010229241515696754748568649025]

复制代码

wayne

n=-16,-25,-49,-60,-72,-88,-92,-95,-116,-120,-129,-130,-135,-140,-149,-152,-160,-179,-180,-181,-193,-195,-196 都至少是两个生成元.

n=-244的时候有三个生成元.https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de16-5.html