可表示为连续正整数平方和的四次方数
本帖最后由 northwolves 于 2025-5-2 08:33 编辑可表示为连续正整数平方和的四次方数,即$m^4=\sum_{k=1}^n(p+k)^2$
d := Select, 1 < # < Floor@CubeRoot &&IntegerQ)] &];
Do > 0, Print], {m, 1, 10000}]
Integers m such that m^4 is the sum of squares of consecutive positive integers.
DATA
13, 295, 330, 364, 1085, 5005, 6305, 15516, 415151
COMMENTS
a(10)>8*10^5.
EXAMPLE
295 is a term because 295^4 = 6453^2 + 6454^2 + ... + 6628^2 + 6629^2.
如何提高计算效率？有没有数论方面的支持？
由 $m^4=\sum _{k=0}^{n-1} (k+p)^2 , 2 p + n - 1 = q$,得到$12 m^4-3 n q^2=n^3-n$, https://oeis.org/draft/A383367
a(n) is an integer that A383359(n) can be expressed as sum of squares ofa(n) consecutive integers.
DATA
2, 177, 352, 1536, 2401, 40898, 60625
OFFSET
1,1
EXAMPLE
177 is a term because 295^4 can be expressed as sum of squares of 177 consecutive integers:295^4=6453^2+6454^2+...+6628^2+6629^2.
CROSSREFS
Cf.A001032, A189173, A383359 $m^4 = np^2+n(n+1)p+1/6n(n+1)(2n+1)\rightarrow p=1/6 (-3 (1 + n) + \sqrt)$ 目前策略是判断$3 ({12 m^4}/n + 1 - n^2)$是不是平方数 你怎么证明n=176,178等无解呢？ 这个算法没问题,只是有点慢。
Table == x, x > 0}, {x}, Integers], {n, 900}, {m, n - 2}]
Table == x, x > 0}, {x}, Integers], {n, 900}, {m, n - 2}] 你研究的这个问题有点偏,网上只能搜到你上传的那一条资料.
ai的分析:
可能最有效的优化方法是：
1. 将问题转换为对于每个n，仅检查其6n^4的约数m，从而大幅减少内层循环次数。
2. 使用并行计算来处理大范围的n。
3. 对每个m进行快速的模运算过滤，排除不可能的情况。
尽管生成大数6n^4的约数可能困难，但对于每个n，可以先生成n^4的约数，再考虑乘以6后的约数，这可能更高效。
例如，6n^4=2*3*n^4，因此其约数是n^4的约数乘以1,2,3,6。因此，可以先生成n^4的所有约数，然后对于每个约数d，生成d, 2d, 3d, 6d作为6n^4的约数。
具体实现步骤如下：
1. 对于给定的n，计算6n^4。
2. 生成6n^4的所有正约数m。
3. 对于每个约数m，检查是否满足原方程，即是否存在整数a使得连续平方和等于n^4。
4. 如果存在，则记录n为解。
这样，内层循环的次数等于6n^4的约数数量，这在n很大时仍然可接受。
1. 将内层循环改为遍历6n^4的约数m。
2. 使用并行计算处理大范围的n。
3. 添加模运算过滤以提前排除不可能的m值。
为了高效寻找更大的四次方数，我们可以通过以下优化大幅提升计算效率：
优化思路：
约数筛选：仅检查6n⁴的约数作为可能的连续项数m，减少内层循环次数。
数学变换：利用平方差公式简化判别式判断。
并行计算：利用多核优势分割搜索范围。
我运行了他的代码80万到100万,10分钟后停止,我看到你给出的答案是190多万,80万到100万这个区间没有解,因此这个代码没有没有效果不得而知.
下面,搜到一些与此类似的内容,供参考.
A120328三个连续平方和: a(n) =n ^ 2 + (n + 1)^ 2 + (n + 2)^ 2。a(n) = 3 *(n + 1)^ 2 + 2 = = 2 (模3)，因此a(n) 永远不会平方。
A027575
a(n) =n ^ 2 + (n + 1)^ 2 + (n + 2)^ 2+ (n + 3)^ 2。a(n) = (2 * n + 3)^ 2 + 5 =A016754(n + 1) + 5，因此a(n) 永远不会平方。
A027578
五个连续平方和: a(n) =n ^ 2 + (n + 1)^ 2 + (n + 2)^ 2+ (n + 3)^ 2 + (n + 4)^ 2。a(n) = 5 *(n + 2)^ 2 + 10. a(n) 从不平方。
A027865
六个连续平方和: a(n) =n ^ 2 + (n + 1)^ 2 + (n + 2)^ 2+ (n + 3)^ 2 + (n + 4)^ 2 + (n + 5)^ 2。
a(n) 被定义为n < 0和a(-n) = a(n-5) 对于任何n; a(-4) = a(-1) = 31，a(-3) = a(-2) = 19。
对于Z中的所有n，a(n) = = 3 (mod 4)，因此a(n) 从不平方。
A260637
七个连续平方和: a(n) =n ^ 2 + (n + 1)^ 2 + (n + 2)^ 2+ (n + 3)^ 2 + (n + 4)^ 2 + (n + 5)^ 2 + (n + 6)^ 2。
a(n) 定义为Z中的任何n，a(-n) = a(n-6)。
序列中没有素数或平方，因为a(n) 是7的倍数，而7是多重性1: a(n) = 7 *((n + 3)^ 2 + 4)，并且因子 (n + 3)^ 2 + 4对于任何n都不是7的倍数。
A001032
使得k个连续整数的平方和> = 1的数字k是平方。
(原为M1996 N0787)
35
1、2、11、23、24、26、33、47、49、50、59、73、74、88、96、97、107、121、122、146，169, 177, 184, 191, 193, 194, 218, 239, 241, 242,249、289、297、299、311、312、313、337、338、347、352、361、362、376、383、393、407、409、431、443、457、458、479、481、491、506
沃森 (Ljunggren) 证明，如果0 ^ 2 + 1 ^ 2 + ... + r ^ 2是一个正方形，那么r = 0、1或24。
直到1391的项是 = = 0，1，2，9，11，16，23 (mod24)。开始编号在A007475(n)。总和的平方根在A076215(n). -拉尔夫·斯蒂芬,2002年11月4日
n = 2的情况下的解在A001652或A082291。
对于k > 5和k = = 1或5 (模6)，似乎所有k ^ 2都在这里。当n不是平方时，问题6552的解决方案表明，有无限数量的n个连续平方的总和等于一个平方。当n是正方形时，只有一个有限数。例如，只有49项的总和是25 ^ 2 +...+ 73 ^ 2 = 357 ^ 2. -T.D.Noe,2011年1月20日
在前面的评论中，“它出现” 可以被删除，因为从 (k ^ 2 + 1)(k ^ 2-25) 开始的k ^ 2个正方形/48总和为一个平方。-托马斯·安德鲁斯,2011年2月14日
请参见A180442对于寻找数字n的互补问题，使得存在以n ^ 2开始的连续平方，总和为平方。
从托马斯·安德鲁斯,2011年2月22日 :( 开始)
n在这个序列中的基本必要条件:
1.如果n = s ^ 2b，其中b是无平方的，则:
a.如果s可以被3整除，那么b可以被3整除。
b.如果s可被2整除，那么b可被2整除。
c.如果b可被3整除，则b = 6 (mod 9)
d. b只有素数因子p，其中3是一个平方，模p。(所以，p = 2，p = 3，或p = 12k +-1)
2.
a.如果n + 1可被3整除，则 (n + 1)/3是两个完全平方的和。
b.如果n + 1不能被3整除，则n + 1是两个完全平方之和
满足这些条件的不在该序列中的最小数是842。
这些条件可以用来建立以上Ralf Stephan的猜想，即所有项都是 = = 0，1，2，9，11，16，或23 (mod 24)。(结束)
满足上述条件但不在该序列中的数字可以在A274469.-克里斯托弗E.汤普森,2016年6月28日
参考资料
S。Dinh，难数学奥林匹克问题及其解决方案，作者，2011年，爱尔兰数学奥林匹克1990的问题6 (实际上是1991)，第96页。
W。Ljunggren，E提出的问题的新解决方案。卢卡斯，挪威垫。Tid。34 (1952)，65-72。
N.J.A.斯隆，《整数序列手册》，学术出版社，1973年 (包括这个序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年 (包括该序列)。
克里斯托弗E.汤普森，n，a(n) 表，n = 1 .. 10438(最多250000，扩展了由T计算的前128项。D.Noe)。
美国。阿尔弗雷德，平方和是完美平方的连续整数,数学。杂志，37 (1964)，19-32。
劳伦特·比克曼斯，可表示为连续平方和的平方,阿梅尔。数学。每月，101 (1994)，437-442。
凯文S.棕色，连续n次幂的总和等于n次幂
董安吉、卡特琳娜·塞托、宋肯德拉和亚历山德鲁·扎哈雷斯库，与平方金字塔数相关的差异的等分布结果,arXiv:2412.10097 [数学.NT]，2024年。见第1页。
Moshe Laub,平方可表示为n个连续平方之和，高级问题6552,阿梅尔。数学。每月97 (1990)，622-625。
斯坦顿·菲利普，关于平方和是完全平方的连续整数的注记,数学。杂志，37 (1964)，218-220。
弗拉基米尔·普莱瑟，连续平方整数之和等于平方整数的项数的同余条件,arXiv:1409.7969 ，2014年。
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G.N.华生，方形金字塔的问题“数学信使” 48 (1918)，第1-22页。
Eric Weisstein的《数学世界》炮弹问题
奥林匹亚相关序列的索引。
与平方和相关的序列的索引条目
示例
3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2，有两个连续项，所以2在序列中。
Sum_{m = 18 .. 28} m ^ 2 = 77 ^ 2，有十一个连续项，所以11在序列中和A007475(3) = 18. -伯纳德·肖特,2022年1月3日
更正者T.D.Noe,2004年8月25日
偏移更改为1 byN.J.A.斯隆,2008年6月
附加条款最多30000个添加到b文件克里斯托弗E.汤普森,2016年6月10日
通过以下方式将最多250000个附加条款添加到b文件克里斯托弗E.汤普森,2018年2月20日
A097812
数字n，使得n ^ 2是两个或多个连续的正平方之和。
8
5、29、70、77、92、106、138、143、158、169、182、195、245、253、274、357、385、413、430、440，495、531、650、652、655、679、724、788、795、985、1012、1022、1055、1133、1281、1365、1397、1518、1525、1529、1546、1599、1612、1786、1828、2205、2222、2257、2372
评论
这些数字是通过穷举搜索找到的。总和不是唯一的; 对于n = 143，有两个表示。Mathematica代码打印n，总和中的平方范围以及总和中的平方数。因为该搜索包括直到2000的所有平方的总和，所以该序列完成到2828。
链接
多诺万·约翰逊，表n，a(n) 为n = 1 .. 5077
K。S。棕色，连续n次幂的总和等于n次幂
与平方和相关的序列的索引条目
示例
29在这个序列中，因为20 ^ 2 + 21 ^ 2 = 29 ^ 2。
对于七个项 < (10 ^ 15)^(1/2)，平方是两种不同方式的总和:
143 ^ 2 = 7 ^ 2 +...+ 39 ^ 2 = 38 ^ 2 +...+ 48 ^ 2。
2849 ^ 2 = 294 ^ 2 +...+ 367 ^ 2 = 854 ^ 2 +...+ 864 ^ 2。
208395 ^ 2 = 2175 ^ 2 +...+ 5199 ^ 2 = 29447 ^ 2 +...+ 29496 ^ 2。
2259257 ^ 2 = 9401 ^ 2 +...+ 25273 ^ 2 = 26181 ^ 2 +...+ 32158 ^ 2。
6555549 ^ 2 = 41794 ^ 2 +...+ 58667 ^ 2 = 87466 ^ 2 +...+ 92756 ^ 2。
11818136 ^ 2 = 10898 ^ 2 +...+ 74906 ^ 2 = 29929 ^ 2 +...+ 76392 ^ 2。
19751043 ^ 2 = 39301 ^ 2 +...+ 107173 ^ 2 = 249217 ^ 2 +...+ 255345 ^ 2。(结束)
A097811
数n，使得n ^ 3是三个或更多个连续正立方体的和。
4
6, 20, 40, 60, 70, 180, 330, 540, 1155, 1581, 2805, 2856, 3876, 5544, 16830, 27060, 62244, 82680, 90090, 175440, 237456, 249424, 273819, 413820, 431548, 534660, 860706, 1074744, 1205750, 1306620,1630200、1764070、1962820、1983150
这些数字是通过穷举搜索找到的。总和不是唯一的; 对于n = 2856，有两个表示。Mathematica代码打印n，总和中的多维数据集范围以及总和中的多维数据集数量。例如，82680 ^ 3等于6591个立方体的总和!使用更快的程序来检查连续多维数据集的所有和s，使得s < 2000000 ^ 3。
2856 ^ 3是唯一的立方体 <2*10 ^ 23，这是一个总和在两种不同的方式。2856 ^ 3 = 213 ^ 3 +...+ 555 ^ 3 = 273 ^ 3 +...+ 560 ^ 3. -多诺万·约翰逊,2011年2月22日
这个序列的项往往只包含小素数。a(n)^(1/3) 是a(n) 的最大素因子的上限吗？-拉尔夫·斯蒂芬2013年5月22日
请注意，根据费马定理，没有立方体是两个正立方体的总和。
项的立方形成的子序列A265845(以多种方式连续正多维数据集之和的数字) 稀疏: 在前1000项中A265845,只有17个是立方体。-乔纳森·桑多,2016年1月10日
链接
柴华武，n，a(n) 表，n = 1 .. 68(术语n = 1 .. 55来自多诺万·约翰逊)
Michael Bennett Vandita Patel和Samir Siksek，完美的力量是连续立方体的总和,arXiv:1603.08901 ，2016年。[但错字在文章的最后一行，1115应该是1155]
K。S。棕色，连续n次幂的总和等于n次幂
公式
a(n) =A131643(n)^(1/3)。-乔纳森·桑多,2016年1月10日
示例
20在这个序列中，因为11 ^ 3 + 12 ^ 3 + 13 ^ 3 + 14 ^ 3 = 20 ^ 3。
A240970
编号 n 这样的 那 的 总和 的 n 连续的 正 立方体 是a多维数据集对于一些初始启动编号k。
1, 3, 4, 20, 25, 49, 64, 99, 125, 153, 288, 343, 512, 1000, 1331, 1849, 2197, 2744, 4096, 4913, 6591, 6859, 8000, 10200, 10648, 12167, 13923, 14161, 15625, 17576,19220, 21456, 21952, 24389, 25201, 29791, 32768, 33124, 39304, 42875, 49776, 50653, 54872, 63001, 64000, 68921, 79507, 85184, 97336
这个序列给出了编号 n 这样的 那k ^ 3 + (k + 1)^ 3 + ... + (k +n-1)^ 3 = y ^ 3对于某些非平凡的k. -德里克·奥尔,2015年1月18日
用于n> 3,n似乎不是无平方的。[这是不正确，25201 = 11*29*79是一个成员的这个序列。-德里克·奥尔,2015年3月9日]
5000 < a(17) <= 6591. -德里克·奥尔,2015年1月17日
它是已知那14161和63001是成员的这个序列。
让S (n,k) =总和_{i = 0 ..n-1} (k + i)^ 3。的的最小k值的给定n在的序列是 {1，3，11，3，6，291，6，11，34，213，273，213，406，1134，1735，34228，3606，4966，8790，11368}。
如果n 是 的 的形式 (2m)^ 3对于一些m = 1，2，3，...只存在一个有限的编号 的k那可以使S (n,k) 为a多维数据集。对于足够大的k，S (n,k) -楼层 (S (n,k)^(1/3))^ 3 = m ^ 3 * (n^ 2-1)(2k +n-1)。所以它永远不会是一个多维数据集。
如果n 是 的 的形式 (2m + 1)^ 3对于一些m = 1，2，3，...也只存在一个有限的编号 的k那可以使S (n,k)多维数据集。对于足够大的k，S (n,k) -楼层 (S (n,k)^(1/3))^ 3 = f(m)*n(2k +n-1) 其中f(m)是一个函数的m。f(1) = 91, f(2) = 1953, f(3) = 14706, f(4) = 66430, f(5) = 221445, f(6) = 603351, ...
如上所述，当k是大于某编号,S (n,k) 永远不会是一个多维数据集。让的k的临界值称为g (n)，因为它取决于n。的函数g (n)是只有具体知道什么时候n 是a多维数据集(上面提到的 “对于足够大的k”)。下面是的已知g (n) 值。
n= 8, g (n) <= 6。
n= 27, g (n) <= 168。
n= 64, g (n) <= 1333。
n= 125, g (n) <= 6447。
n= 216, g (n) <= 23219。
n= 343, g (n) <= 68456。
n= 512, g (n) <= 174506。
n= 729, g (n) <= 398215。
n= 1000, g (n) <= 832832。
n= 1331, g (n) <= 1623264。
n= 1728, g (n) <= 2985119。
n= 2197, g (n) <= 5227943。
...
示例: forn= 8，如果k > 6，则S(8，k) - floor(S(8，k)^(1/3))^ 3 = 63 *(2 * k + 7)。所以g (n) = 6。
那里是一种可能性那g (n) 可以为其他值定义的 n除了的 立方体这将给所有的k一个界限n。备注那g (n) ~ 0.065 *n^(2.4)。绘制此函数，可以看到那对于所有n > 4列于的序列，它们的k值在的第一个评论远远小于0.065 *n^(2.4)。对于大型n,0.065 *n^(2.4) 似乎是一个很大的高估。因此，0.065 *n^(2.4) 可以作为k的充分界限n(基本上是为了n > 4)。
如果n= v ^ 3，其中v是a编号不能被3整除，则k = (v ^ 4-3 * v ^ 3-2 * v ^ 2 + 4)/6。因此，有无限多立方体在这个序列中。-罗伯特·以色列,2014年8月6日
的方程S (n,k) = y ^ 3是超椭圆曲线，因此只有一个有限的编号 的积分点。
使用的变换X = (2 * y)/(2k-1 +n) 和Y = 1/(2k-1 +n), S (n,k) = y ^ 3变换为Y ^ 2 * (n^ 3-n) = X ^ 3-n,哪个是以Weierstrass形式表示，可以求解为 (X，Y)。
此外，的可以操纵上述变换以得出一个新的Diophantine方程; 这个是结束的整数:n* X ^ 3 + (n^ 3-n) * X = (2y)^ 3其中X = 2k +n-1.
的Bilu和Hanrot link给出了的可能的值的x为的方程a * y ^ p = f(x)，其中p >= 3和f的度数d >= 2，这里，a = 1，p = 3，d = 3。
如果M是a立方整数不能被3整除，则始终存在至少一个非平凡解的 总和 的M连续的 立方从a ^ 3开始并等于a的整数立方整数c ^ 3。如果M = 0(mod 3)，则没有m = m ^ 3的非平凡解。用于n> = 1，对于整数m (n) =A001651(n)，M的所有非平凡解 (n) = m ^ 3 =A118719(n+ 1) 是 (n) = (m-1)(m ^ 2(m-2) - 4(m + 1 ))/6 (A253778) 和c (n) = m(m ^ 2-1)(m ^ 2 + 2)/6 (A253779)。-弗拉基米尔·普莱瑟,2015年1月12日
的以上关系为的 编号 的条款等于a多维数据集不是0(mod 3)，即a (n) = (m-1)(m ^ 2(m-2) - 4(m + 1 ))/6 (V.Pletser)或k = (v ^ 4-3 * v ^ 3-2 * v ^ 2 + 4)/6 (R。以色列)，已经由A给出。马丁在1871年和J。马特森在1888年 (见L。E.迪克森，第584页)。-弗拉基米尔·普莱瑟,2015年1月27日
此序列中的附加术语 (那不是立方体) 是n= 6591，21456，176824，11859210，屈服的三元组 (n,第一项，立方根的 总和) = (6591，305，82680)，(21456，266785，7715220)，(176824，407526，28127850)，(11859210，21709458，6398174475)。-弗拉基米尔·普莱瑟,2015年1月12日
此序列中的两个附加项 (那不是立方体) 是n= 13923和33124屈服的三元组 (n,第一项，立方根的 总和) = (13923，3010，273819) 和 (33124，18551，1205750) (在K.S。布朗的数学页面)。-弗拉基米尔·普莱瑟,2015年2月1日
另一种解决方案 (当n 是不是一个多维数据集)是(n,第一项，立方根的 总和) = (25201，46690，1764070)。备注那 n= 25201 = 11*29*79是squarefree.这是 的第一个已知的无平方解n= 3 (以的数学溢出链接)。-德里克·奥尔,2015年3月9日
A118719(不包括其初始期限)是一个子序列。-德里克·奥尔2015年5月12日
参考资料
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链接
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尤里·F.Bilu和Guillaume Hanrot，用Baker方法求解超椭圆丢番图方程,Compositio Mathematica，第112卷，第03期，1998年7月，第273-312页。
K。S。布朗的数页，总和 的 连续的N次幂等于n次幂
德里克·奥尔 (数学溢出后)，总和 的 连续的 立方体
本·维塔莱，总和 的 立方体等于a多维数据集
示例
11 ^ 3 + 12 ^ 3 + 13 ^ 3 + 14 ^ 3 (总和 的 四 连续的 立方体)是a多维数据集(20 ^ 3)。所以4是一个成员的这个序列。
费马最后定理说那x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3没有非平凡解。因此k ^ 3 + (k + 1)^ 3 = y ^ 3没有非平凡解，所以2是不是会员的这个序列。
题主的代码核心算法已经是最优的。测试过pell方程的方式，效率还不如这个因子分解的。
我觉得唯一可以明显提升速度的一个小细节，就是因子的筛选。因为Divisors本来就返回的是有序列表。可以根据$12m^4>=n^3-n$提前过滤。（ $m^4=\sum _{k=0}^{n-1} (k+p)^2 , 2 p + n - 1 = q$,得到$12 m^4-3 n q^2=n^3-n$）
用TakeWhile而不是Select，因为Select会走完全部的列表，而TakeWhile是从有序列表里挨个提取，一旦不满足条件立马结束。
lst={};
Monitor[],#^3-#<mm&];
ans=Select]&&Mod[#-Sqrt[(mm/#+1-#^2)/3],2]==1&];
If>0,tmp={m,{#,Sqrt[(mm/#+1-#^2)/3],p=(Sqrt[(mm/#+1-#^2)/3]+1-#)/2}&/@ans};Print;
AppendTo],{m,337184,10^6}],m]
还有就是多线程，将Do换成ParallelDo即可。反正数据不多，就直接打印就行，不需要合并每个线程的计算结果。
。 我打开了10个进程计算到大约10^7了，目前就发现10个解：
13, 295, 330, 364, 1085, 5005, 6305, 15516, 415151, 1990368