用Mathematica编程求出m使得误差函数值达到最小
因为$\frac{\, _2F_1\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;\lambda ^2\right)}{\frac{3 \lambda ^2}{\sqrt{4-3 \lambda ^2}+10}+1}-1 = \frac{3 \lambda ^{10}}{131072}+\frac{67 \lambda ^{12}}{2097152}+O\left(\lambda ^{13}\right)$而$\left(1-\frac{1-\lambda }{\lambda +1}\right)^{10} = 1024 \lambda ^{10}-10240 \lambda ^{11}+56320 \lambda ^{12}+O\left(\lambda ^{13}\right)$
所以里面的$\frac{22}{7 \pi }-1$应该换成$\frac{3}{134217728}$, 同时$m=10$
最终$\, _2F_1\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;\lambda ^2\right)-\left(\frac{3 \lambda ^2}{\sqrt{4-3 \lambda ^2}+10}+1\right) \left(\frac{3 \left(1-\frac{1-\lambda }{\lambda +1}\right)^{10}}{134217728}+1\right) =\frac{15 \lambda ^{11}}{65536}-\frac{2573 \lambda ^{12}}{2097152}+O\left(\lambda ^{13}\right)$ 本帖最后由 笨笨 于 2025-5-6 21:03 编辑
wayne 发表于 2025-5-6 18:49
因为$\frac{\, _2F_1\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;\lambda ^2\right)}{\frac{3 \lambda ^2}{\sqrt{4- ...
前辈你好，你的解答不符合题意。
首先把\(\frac{22}{7 \pi }-1\)换成\(\frac{3}{134217728}\)且写成\(\left(1-\frac{1-\lambda }{\lambda +1}\right)^{10}\)这种形式求得的级数只能保证与原级数前几项高度相似，不能保证函数簇整体误差最小。
其次满足形如以下条件下的m值在误差函数簇中误差最小的那个。
我是觉得你的题目没出好,有点莫名其妙.所以擅自作主了.
既然你这么坚持,那请你严格定义一下 你新造的词汇,误差函数簇 的数学意义. 本帖最后由 笨笨 于 2025-5-6 22:00 编辑
wayne 发表于 2025-5-6 21:53
我是觉得你的题目没出好,有点莫名其妙.所以擅自作主了.
既然你这么坚持,那请你严格定义一下 你新造的词汇, ...
前辈你好，由于我没表达好且能力有限。主贴大致类似于这个帖子:用Mathematica编程求出最大误差函数值时如：10⁻⁸下的(x,a,b,c,d)
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18985
(出处: 数学研发论坛)
@Ickiverar wayne 发表于 2025-5-6 21:53
我是觉得你的题目没出好,有点莫名其妙.所以擅自作主了.
既然你这么坚持,那请你严格定义一下 你新造的词汇, ...
大致就是这个意思，前辈请看下图
本帖最后由 笨笨 于 2025-5-21 19:17 编辑
折腾了2天未果！下面的程序deepseek算的结果很接近主贴所求m值。
最优参数 m = 46.4295，误差=0.00001868207537802924，b=0.05376700730325596
检验误差：
NumberForm[
N[NMaximize[{Abs[
Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2),
1, ((1 - b)/(
1 + b))^2] - (1 + (3 ((1 - b)/(1 + b))^2)/(
10 + Sqrt[
4 - 3 ((1 - b)/(1 + b))^2])) (1 + (22/(7 \) - 1) (1 -
b)^46.42947629474779` )], 0 < b < 1}, b]], 10]
求出最优m值
(*左边 Hypergeometric 函数*)
left := Hypergeometric2F1[-1/2, -1/2, 1, ((1 - x)/(1 + x))^2];
(*右边修正后的表达式*)
right[x_,
m_] := (1 + (3*((1 - x)/(1 + x))^2)/(10 +
Sqrt))*(1 + (22/(7*Pi) -
1)*(1 - x)^m);
(*预计算常数项优化计算效率*)
constantFactor = N;(* \-0.31831*)
right[x_?NumericQ,
m_?NumericQ] := (1 + (3*((1 - x)/(1 + x))^2)/(10 +
Sqrt))*(1 +
constantFactor*(1 - x)^m);
(*定义均方误差，积分区间设为*)
mse :=
NIntegrate[(left - right)^2, {x, 0, 1},
Method -> "GlobalAdaptive", MaxRecursion -> 20];
(*全局优化，限制 m>0*)
result = NMinimize[{mse, m > 0}, m, Method -> "SimulatedAnnealing"];
{minError, {mOpt -> mValue}} = result;
(*输出结果*)
Print["最优参数 m = ", mOpt, "，最小均方误差 = ", minError]
(*绘制函数对比*)optM = mOpt /. result[];
Plot[{left, right}, {x, 0, 1},
PlotLegends -> {"Hypergeometric", "Approximation"},
PlotStyle -> {Blue, Red}, Frame -> True,
FrameLabel -> {"x", "Function Value"},
PlotLabel -> "Optimal m = " <> ToString] 本帖最后由 笨笨 于 2025-5-21 19:06 编辑
固定椭圆长半轴a=1，用肉眼观察法可知主贴所求的m值在46.401附近使误差达到最小
Manipulate[
Plot[{Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2),
1, ((1 - b)/(
1 + b))^2] - (1 + (3 ((1 - b)/(1 + b))^2)/(
10 + Sqrt[
4 - 3 ((1 - b)/(1 + b))^2])) (1 + (22/(7 \) - 1) ((1 - b)/
1)^m), -0.00002, 0.00002}, {b, 0, 1},
PlotRange -> {-0.00002, 0.00002},
Epilog -> {Dashed, Line[{{1, 0}, {1, -0.00002}, {1, 0.00002}}]},
PlotLegends -> "Expressions"], {m, 0, 50}]
不知道8楼的代码怎么优化才能得到：m=46.401
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