最小值是$K_{min} = |\frac{\lambda - \sqrt{2} | \lambda ^2-1|}{2 \lambda ^2-1}|$,此时正方形的边长是$\sqrt{\lambda ^2 - \sqrt{2} \lambda +1}$
最大值是$K_{max} = |\frac{\lambda+ \sqrt{2} | \lambda ^2-1| }{2 \lambda ^2-1}|$,此时正方形的边长是$\sqrt{\lambda ^2+ \sqrt{2} \lambda +1}$
Plot[{Sqrt \+\^2],Abs[(\-Sqrt Abs[-1+\^2])/(-1+2 \^2)],Sqrt \+\^2],Abs[(\+Sqrt Abs[-1+\^2])/(-1+2 \^2)]},{\,0,3},PlotStyle->{Red,Directive,Thickness],Blue,Directive,Thickness]},AxesOrigin->{0,0}]
续7#
都给出驻点的几何特征了，还问我结果:L基于7#的图，有几种计算方法：
一、解析几何方法，写出圆的方程，求两圆的交点，然后用两点的距离公式。
二、余弦定理
三、平面几何方法
以下展示第三方法计算最大值，如图，设PA=BG=DH=2，PB=GC=AH=4
EA=HA/√2=2√2, PE=2+2√2, PD=√2·PE
BF=BG/√2=√2，PF=4+√2, PC=√2·PF
最大值=PD/PC=PE/PF=(2+√2)/(1+2√2)
hujunhua 发表于 2025-5-15 18:15
都给出驻点的几何特征了，还问我结果
基于7#的图，有几种计算方法：
一、解析几何方法，写出圆的方程，求 ...
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
a=24(*正方形边长=24*)
ans=Solve[{
s1*(s1+a)==r1^2,(*OA*OB=R^2*)
s1/(s1+a)==(2/4)^2,(*PA/PB=2/4,OA/OB=比例的平方*)
r1>0
},{s1,r1}]
(*点坐标赋值*)
{xo1,yo1,R1}={-s1,a,r1}/.ans[](*p点圆心坐标*)
{xa,ya}={0,a}
{xb,yb}={a,a}
{xc,yc}={a,0}
{xd,yd}={0,0}
(*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
f=((xp-xd)^2+(yp-yd)^2)/((xp-xc)^2+(yp-yc)^2)+t*((xp-xo1)^2+(yp-yo1)^2-R1^2)
(*求偏导数,解方程组*)
aaa=Solve==0,{xp,yp,t}]
(*代入目标函数,开平方*)
bbb=Sqrt/.aaa//FullSimplify
假设正方形边长等于24
\[\begin{array}{ccc}
\text{xp}\to \frac{24}{17} \left(1-3 \sqrt{2}\right) & \text{yp}\to \frac{24}{17} \left(13-5 \sqrt{2}\right) & t\to \frac{83 \sqrt{2}-46}{131712} \\
\text{xp}\to \frac{24}{17} \left(3 \sqrt{2}+1\right) & \text{yp}\to \frac{24}{17} \left(5 \sqrt{2}+13\right) & t\to \frac{-83 \sqrt{2}-46}{131712} \\
\end{array}\]
目标函数值
\[\left\{\frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}-2\right),\frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}+2\right)\right\}\]
建立坐标系，用拉格朗日乘子法解决问题 hujunhua 发表于 2025-5-15 18:15
都给出驻点的几何特征了，还问我结果
基于7#的图，有几种计算方法：
一、解析几何方法，写出圆的方程，求 ...
极值的条件是
∠APB+∠CPD=180°，或者∠APB=∠CPD？？？ nyy 发表于 2025-5-16 09:11
极值的条件是
∠APB+∠CPD=180°，或者∠APB=∠CPD？？？
根据相切，列方程组，得到
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
a=3(*正方形边长=3*)
ans=Solve[{
(*阿屎圆的两个条件:OA*OB=R^2,OA/OB=比值的平方*)
s1*(s1+a)==r1^2,(*OA*OB=R^2*)
s1/(s1+a)==(2/4)^2,(*PA/PB=2/4,OA/OB=比例的平方*)
s2*(s2+a)==r2^2,
s2/(s2+a)==k2^2,
Abs==Sqrt[(s1-s2)^2+a^2],(*两个圆相切的条件,半径和=圆心距离,或者半径差的绝对值=圆心距离*)
k^2==1,(*k=1外切,k=-1内切*)
s1>0&&r1>0&&s2>0&&r2>0&&k2>0
},{s1,r1,s2,r2,k2,k}]//FullSimplify
Grid(*列表显示*)
\[\begin{array}{llllll}
\text{s1}\to 1 & \text{r1}\to 2 & \text{s2}\to 6-4 \sqrt{2} & \text{r2}\to 5 \sqrt{2}-6 & \text{k2}\to \frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}-2\right) & k\to 1 \\
\text{s1}\to 1 & \text{r1}\to 2 & \text{s2}\to 4 \sqrt{2}+6 & \text{r2}\to 5 \sqrt{2}+6 & \text{k2}\to \frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}+2\right) & k\to -1 \\
\end{array}\]
Jack315 发表于 2025-5-13 17:14
如图所示：
用解析方法可求得：
4楼的图。谢谢 Jack315 ！连接BD, 可知∠BDA=45。
Solve[{AE^2 + PE^2 == 2^2, BE^2 + PE^2 == 4^2, (AE + BE) PE == 2*4 Sin, (AE^2 + (AE + BE + PE)^2)/(BE^2 + (AE + BE + PE)^2) == P^2, BE > AE > PE > P > 0}, {AE, BE, PE, P}] // FullSimplify
{{AE -> 2 Sqrt[(7 + 4 Sqrt)/17], BE -> 2 Sqrt)/17], PE -> 2 Sqrt)/17], P -> (2 + 3 Sqrt)/7}} pa/pb与pc/pd，之间有什么关系？ 用三角函数还是简单些。由第 1 个 = 得 a,由第 2 个 = 得 PC,由第 3 个 = 得 PD,由第 4 个 = 得 k。或:把中间 2 个省略了。
Solve[{2/Sin == 4/Sin == PC/Cos == PD/Cos, PD/PC == k, 1 > a > 0}, {a, PC, PD, k}]
{{a -> ArcCot], PC -> 2 + 4 Sqrt, PD -> 4 + 2 Sqrt), k -> (2 + 3 Sqrt)/7}}
补充内容 (2025-5-18 16:43):
最小值。Solve[{2/Sin == 4/Sin == PC/Cos == PD/Cos,
PD/PC == k, 1 > a > 0}, {a, PC, PD, k}]
用托勒密定理
设正方形边长为a（设而不求）一、最大值 当P在7#的P₁处时
$PD·AB=4·AD+2·BD=> PD·a=4a+2sqrt2a=> PD=4+2sqrt2$
$PC·AB=2·BC+4·AC=> PC·a=2a+4sqrt2a=> PC=2+4sqrt2$
$frac{PD}{PC}={4+2sqrt2}/{2+4sqrt2}={2+sqrt2}/{1+2sqrt2}$
计算简明
二、 最小值，当P在7#的P₂处时
$PD·AB=4·AD-2·BD=> PD·a=4a-2sqrt2a=> PD=4-2sqrt2$
$PC·AB=4·AC-2·BC=> PC·a=4sqrt2a-2a=> PC=4sqrt2-2$
$frac{PD}{PC}={4-2sqrt2}/{4sqrt2-2}={2-sqrt2}/{2sqrt2-1}$
王守恩 发表于 2025-5-18 05:29
设正方形边长为a（设而不求）
一、最大值 当P在7#的P₁处时
老同志越来越牛逼了
会用LATEX了，也会画图了