初中几何题：求PD/PC的最小值与最大值

wayne

那个一般化的解还可以继续化简形式. 设 $\lambda = \frac{PB}{PA} >0$, 目标表达式 $K= \frac{PD}{PC} >0$,那么
最小值是$K_{min} = |\frac{\lambda - \sqrt{2} | \lambda ^2-1|  }{2 \lambda ^2-1}|$,此时正方形的边长是$\sqrt{\lambda ^2 - \sqrt{2} \lambda +1}$
最大值是$K_{max} = |\frac{\lambda+ \sqrt{2} | \lambda ^2-1| }{2 \lambda ^2-1}|$,此时正方形的边长是$\sqrt{\lambda ^2+ \sqrt{2} \lambda +1}$

1. Plot[{Sqrt[1-Sqrt[2] \[Lambda]+\[Lambda]^2],Abs[(\[Lambda]-Sqrt[2] Abs[-1+\[Lambda]^2])/(-1+2 \[Lambda]^2)],Sqrt[1+Sqrt[2] \[Lambda]+\[Lambda]^2],Abs[(\[Lambda]+Sqrt[2] Abs[-1+\[Lambda]^2])/(-1+2 \[Lambda]^2)]},{\[Lambda],0,3},PlotStyle->{Red,Directive[Lighter[Red],Thickness[0.01]],Blue,Directive[Lighter[Blue],Thickness[0.01]]},AxesOrigin->{0,0}]

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hujunhua

都给出驻点的几何特征了，还问我结果
基于7#的图，有几种计算方法：
一、解析几何方法，写出圆的方程，求两圆的交点，然后用两点的距离公式。
二、余弦定理
三、平面几何方法
以下展示第三方法计算最大值，如图，设PA=BG=DH=2，PB=GC=AH=4
EA=HA/√2=2√2, PE=2+2√2, PD=√2·PE
BF=BG/√2=√2，PF=4+√2, PC=√2·PF
最大值=PD/PC=PE/PF=(2+√2)/(1+2√2)

nyy

hujunhua 发表于 2025-5-15 18:15
都给出驻点的几何特征了，还问我结果
基于7#的图，有几种计算方法：
一、解析几何方法，写出圆的方程，求 ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. a=24(*正方形边长=24*)
   
3. ans=Solve[{
   
4.     s1*(s1+a)==r1^2,(*OA*OB=R^2*)
   
5.     s1/(s1+a)==(2/4)^2,(*PA/PB=2/4,OA/OB=比例的平方*)
   
6.     r1>0
   
7. },{s1,r1}]
   
8. (*点坐标赋值*)
   
9. {xo1,yo1,R1}={-s1,a,r1}/.ans[[1]](*p点圆心坐标*)
   
10. {xa,ya}={0,a}
    
11. {xb,yb}={a,a}
    
12. {xc,yc}={a,0}
    
13. {xd,yd}={0,0}
    
14. (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
    
15. f=((xp-xd)^2+(yp-yd)^2)/((xp-xc)^2+(yp-yc)^2)+t*((xp-xo1)^2+(yp-yo1)^2-R1^2)
    
16. (*求偏导数,解方程组*)
    
17. aaa=Solve[D[f,{{xp,yp,t}}]==0,{xp,yp,t}]
    
18. (*代入目标函数,开平方*)
    
19. bbb=Sqrt[f]/.aaa//FullSimplify
    

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假设正方形边长等于24
\[\begin{array}{ccc}
\text{xp}\to \frac{24}{17} \left(1-3 \sqrt{2}\right) & \text{yp}\to \frac{24}{17} \left(13-5 \sqrt{2}\right) & t\to \frac{83 \sqrt{2}-46}{131712} \\
\text{xp}\to \frac{24}{17} \left(3 \sqrt{2}+1\right) & \text{yp}\to \frac{24}{17} \left(5 \sqrt{2}+13\right) & t\to \frac{-83 \sqrt{2}-46}{131712} \\
\end{array}\]

目标函数值
\[\left\{\frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}-2\right),\frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}+2\right)\right\}\]

建立坐标系，用拉格朗日乘子法解决问题

nyy

hujunhua 发表于 2025-5-15 18:15
都给出驻点的几何特征了，还问我结果
基于7#的图，有几种计算方法：
一、解析几何方法，写出圆的方程，求 ...

极值的条件是
∠APB+∠CPD=180°，或者∠APB=∠CPD？？？

nyy

nyy 发表于 2025-5-16 09:11
极值的条件是
∠APB+∠CPD=180°，或者∠APB=∠CPD？？？

根据相切，列方程组，得到

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. a=3(*正方形边长=3*)
   
3. ans=Solve[{
   
4.     (*阿屎圆的两个条件:OA*OB=R^2,OA/OB=比值的平方*)
   
5.     s1*(s1+a)==r1^2,(*OA*OB=R^2*)
   
6.     s1/(s1+a)==(2/4)^2,(*PA/PB=2/4,OA/OB=比例的平方*)
   
7.     s2*(s2+a)==r2^2,
   
8.     s2/(s2+a)==k2^2,
   
9.     Abs[r1+k*r2]==Sqrt[(s1-s2)^2+a^2],(*两个圆相切的条件,半径和=圆心距离,或者半径差的绝对值=圆心距离*)
   
10.     k^2==1,(*k=1外切,k=-1内切*)
    
11.     s1>0&&r1>0&&s2>0&&r2>0&&k2>0
    
12. },{s1,r1,s2,r2,k2,k}]//FullSimplify
    
13. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

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\[\begin{array}{llllll}
\text{s1}\to 1 & \text{r1}\to 2 & \text{s2}\to 6-4 \sqrt{2} & \text{r2}\to 5 \sqrt{2}-6 & \text{k2}\to \frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}-2\right) & k\to 1 \\
\text{s1}\to 1 & \text{r1}\to 2 & \text{s2}\to 4 \sqrt{2}+6 & \text{r2}\to 5 \sqrt{2}+6 & \text{k2}\to \frac{1}{7} \left(3 \sqrt{2}+2\right) & k\to -1 \\
\end{array}\]

王守恩

Jack315 发表于 2025-5-13 17:14
如图所示：

用解析方法可求得：

4楼的图。谢谢 Jack315 ！连接BD, 可知∠BDA=45。

Solve[{AE^2 + PE^2 == 2^2, BE^2 + PE^2 == 4^2, (AE + BE) PE == 2*4 Sin[Pi/4], (AE^2 + (AE + BE + PE)^2)/(BE^2 + (AE + BE + PE)^2) == P^2, BE > AE > PE > P > 0}, {AE, BE, PE, P}] // FullSimplify

{{AE -> 2 Sqrt[(7 + 4 Sqrt[2])/17], BE -> 2 Sqrt[2(29 + 2 Sqrt[2])/17], PE -> 2 Sqrt[2 (5 - 2 Sqrt[2])/17], P -> (2 + 3 Sqrt[2])/7}}

nyy

pa/pb与pc/pd，之间有什么关系？

王守恩

用三角函数还是简单些。由第 1 个 = 得 a,  由第 2 个 = 得 PC,  由第 3 个 = 得 PD,  由第 4 个 = 得 k。或:  把中间 2 个省略了。

Solve[{2/Sin[a] == 4/Sin[Pi/4 - a] == PC/Cos[a] == PD/Cos[Pi/4 - a], PD/PC == k, 1 > a > 0}, {a, PC, PD, k}]

{{a -> ArcCot[1 + 2 Sqrt[2]], PC -> 2 + 4 Sqrt[2], PD -> 4 + 2 Sqrt[2]), k -> (2 + 3 Sqrt[2])/7}}

补充内容 (2025-5-18 16:43):
最小值。Solve[{2/Sin[a] == 4/Sin[Pi/4 + a] == PC/Cos[a] == PD/Cos[Pi/4 + a],
    PD/PC == k, 1 > a > 0}, {a, PC, PD, k}]

王守恩

设正方形边长为a（设而不求）

一、最大值   当P在7#的P₁处时
$PD·AB=4·AD+2·BD=> PD·a=4a+2sqrt2a=> PD=4+2sqrt2$
$PC·AB=2·BC+4·AC=> PC·a=2a+4sqrt2a=> PC=2+4sqrt2$
$frac{PD}{PC}={4+2sqrt2}/{2+4sqrt2}={2+sqrt2}/{1+2sqrt2}$

二、 最小值，当P在7#的P₂处时
$PD·AB=4·AD-2·BD=> PD·a=4a-2sqrt2a=> PD=4-2sqrt2$
$PC·AB=4·AC-2·BC=> PC·a=4sqrt2a-2a=> PC=4sqrt2-2$
$frac{PD}{PC}={4-2sqrt2}/{4sqrt2-2}={2-sqrt2}/{2sqrt2-1}$

nyy

王守恩 发表于 2025-5-18 05:29
设正方形边长为a（设而不求）

一、最大值   当P在7#的P₁处时

老同志越来越牛逼了
会用LATEX了，也会画图了