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[提问] 初中几何题:求PD/PC的最小值与最大值

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发表于 2025-5-11 10:40:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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反演经典题。
如图,PA=2,PB=4,四边形ABCD为正方形,求PD/PC的最小值和最大值。

A B D C P

精华

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2025-5-11 10:45:37 | 显示全部楼层
既然求的是比值,那就可以做个转换,使不动点更多。
固定正方形的边长=3,保持PA/PB=1/2 , P的轨迹是一个阿氏圆(A, B, 1/2).
推荐

使用等高线法,PD/PC的等高线也是一个阿氏圆(D, C, h)。
极值就在等高线与阿氏圆(A, B, 1/2)相切处。

然后用解析几何方法,建立坐标系和方程,再结合拉格朗日乘子法可求出结果。

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可能有两种内切和两种外切的情况  发表于 2025-5-14 07:07
正确  发表于 2025-5-13 21:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-5-13 16:25:59 | 显示全部楼层
按3楼的作法,结果应该是:
2025-05-13_162522.png

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nyy
中间过程呢?  发表于 2025-5-15 05:18
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-5-13 17:14:11 | 显示全部楼层
如图所示:
求PD_PC的最小值与最大值.png
用解析方法可求得:
\(AB=\sqrt{20-16\cos{\theta}}\)
\(AE=\frac{2-4\cos{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(BE=\frac{8-4\cos{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PE=\frac{4\sin{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PF=\frac{10-8\cos{\theta}+4\sin{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PD=2\sqrt{6-4\cos{\theta}+4\sin{\theta}}\)
\(PC=2\sqrt{9-4\cos{\theta}+4\sin{\theta}}\)
当 \(\theta=135\degree\) 时,得到最大值:
\(PD/PC=\sqrt{22+12\sqrt{2}}/7\)
当 \(\theta=315\degree\) 时,得到最小值:
\(PD/PC=\sqrt{22-12\sqrt{2}}/7\)

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nyy
最后的结果,根号套根号,在外面的根号能去掉  发表于 2025-5-15 05:22
nyy
你的根号还能开出来  发表于 2025-5-15 05:21
nyy
你这个315是什么意思?对应的图形是?怎么感觉与下面的对不上?  发表于 2025-5-14 20:10
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-5-14 08:38:04 | 显示全部楼层
最小是$\frac{1}{7} (3 \sqrt{2}-2)$,此时正方形的边长是$\sqrt{5-2 \sqrt{2}}$
最大是$\frac{1}{7} (3 \sqrt{2}+2)$,此时正方形的边长是$\sqrt{5+2 \sqrt{2}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-5-14 09:13:37 | 显示全部楼层
对于一般情况,$k= \frac{PD}{PC}$的取值 要根据$\lambda = \frac{PB^2}{PA^2}$的取值情况分段讨论. 需要分类讨论的是$\lambda=0,1,2$拆分的三个区间. 统一表达,就是
$k_{min}=\sqrt{\frac{\lambda  (2 \lambda -3)-2 \sqrt{2} \sqrt{(\lambda -1)^2 \lambda }+2}{(1-2 \lambda )^2}}$, $k_{max}=\sqrt{\frac{\lambda  (2 \lambda -3)+2 \sqrt{2} \sqrt{(\lambda -1)^2 \lambda }+2}{(1-2 \lambda )^2}}$

反正就是$(1-2 \lambda )^2 k^4+\left(-4 \lambda ^2+6 \lambda -4\right) k^2+(\lambda -2)^2 = 0$, 蓝色代表$k$取最小值的曲线段,红色代表$k$取最大值的曲线,再画个图

  1. Block[{n=8},Show[{ContourPlot[4-4 \[Lambda]+\[Lambda]^2+(-4+6 \[Lambda]-4 \[Lambda]^2) k^2+(1-4 \[Lambda]+4 \[Lambda]^2) k^4==0,{\[Lambda],0,n},{k,-n/2,n/2},Axes->True,Frame->False,ContourStyle->Dashed,PlotPoints->100],Plot[{Sqrt[(2-2 Sqrt[2] Sqrt[(-1+\[Lambda])^2 \[Lambda]]+\[Lambda] (-3+2 \[Lambda]))/(1-2 \[Lambda])^2],Sqrt[(2+2 Sqrt[2] Sqrt[(-1+\[Lambda])^2 \[Lambda]]+\[Lambda] (-3+2 \[Lambda]))/(1-2 \[Lambda])^2]},{\[Lambda],0,n},PlotStyle->{Blue,Red},PlotPoints->100,PlotRegion->{{0,n},{-n,n}}]}]]
复制代码


Untitled.png

  1. {pa,pb,pc,pd,pp}={{0,s},{s,s},{s,0},{0,0},{x,y}};
  2. exp=Eliminate[{Total[(pp-pa)^2]==1,Total[(pp-pb)^2]==\[Lambda],Total[(pp-pc)^2]==c^2,Total[(pp-pd)^2]==k^2 c^2},{c,x,y}];
  3. Minimize[{k, k > 0 && exp}, {s, k}]
  4. Maximize[{k, k > 0 && exp}, {s, k}]
复制代码


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nyy
你这个是什么思路呀?没看懂  发表于 2025-5-15 05:15
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发表于 2025-5-14 10:07:10 | 显示全部楼层

极值对应的驻点位置的几何特征

按2#的设想,固定正方形的边长为3,保持PB/PA=2,P点在下图蓝色阿氏圆上滑动。
两个极值点是这个阿氏圆与正方形外接圆的交点,其中P₁为极大值点,P₂为极小值点。
PA/PB=定值  的阿氏圆与过A、B两点的圆簇都是正交的。
PD/PC=定值  的阿氏圆与过C、D两点的圆簇都是正交的。
两个圆簇有一个公共圆,即正方形ABCD的外接圆,同时与两个阿氏圆正交,
所以这两个阿氏圆是相切的。
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捕获.PNG

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nyy
你是不是先得到8楼的图,然后才知道两个点在外接圆上?  发表于 2025-5-22 16:46
nyy
两个圆正交,我没看懂。估计也看不懂了  发表于 2025-5-15 05:16
nyy
求解结果呢?  发表于 2025-5-15 05:07
@mathe 以A为反演中心、AB为半径的圆为基圆、过A、B两点的圆簇反演为过点B的直线束。阿氏圆簇则反演为以B为圆心的同心圆。  发表于 2025-5-14 14:58
这个正交性质有简单的解释吗?  发表于 2025-5-14 12:17

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发表于 2025-5-14 11:31:24 | 显示全部楼层
a.png
所以上面的圆左偏,只有左边一半的阿氏圆才可能相切

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nyy
你可以把abcd的外接圆画出来  发表于 2025-5-14 12:48
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 楼主| 发表于 2025-5-14 22:38:15 | 显示全部楼层
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 17109&pid=82830

阿氏圆可以用这边的等式。
精髓就在这两个等式:
r^2=a*b
b/a=k^2(k必须大于1,如果不是大于1,则用1/k)
这个题如果要可以解决,必须有一个焦点同时满足这两个等式
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 楼主| 发表于 2025-5-15 08:16:11 | 显示全部楼层
这个题如果不像2#那样转化为固定正方形,原本的思路是怎么样的,有什么好的方法?
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