初中几何题：求PD/PC的最小值与最大值

nyy

反演经典题。
如图，PA=2，PB=4，四边形ABCD为正方形，求PD/PC的最小值和最大值。

nyy

既然求的是比值，那就可以做个转换，使不动点更多。
固定正方形的边长=3，保持PA/PB=1/2 , P的轨迹是一个阿氏圆(A, B, 1/2).

使用等高线法，PD/PC的等高线也是一个阿氏圆(D, C, h)。
极值就在等高线与阿氏圆(A, B, 1/2)相切处。

然后用解析几何方法，建立坐标系和方程，再结合拉格朗日乘子法可求出结果。

Gongwen0519

按3楼的作法，结果应该是：

Jack315

如图所示：

用解析方法可求得：
\(AB=\sqrt{20-16\cos{\theta}}\)
\(AE=\frac{2-4\cos{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(BE=\frac{8-4\cos{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PE=\frac{4\sin{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PF=\frac{10-8\cos{\theta}+4\sin{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PD=2\sqrt{6-4\cos{\theta}+4\sin{\theta}}\)
\(PC=2\sqrt{9-4\cos{\theta}+4\sin{\theta}}\)
当 \(\theta=135\degree\) 时，得到最大值：
\(PD/PC=\sqrt{22+12\sqrt{2}}/7=(3\sqrt2+2)/7\)
当 \(\theta=315\degree\) 时，得到最小值：
\(PD/PC=\sqrt{22-12\sqrt{2}}/7=(3\sqrt2-2)/7\)

wayne

最小是$\frac{1}{7} (3 \sqrt{2}-2)$,此时正方形的边长是$\sqrt{5-2 \sqrt{2}}$
最大是$\frac{1}{7} (3 \sqrt{2}+2)$,此时正方形的边长是$\sqrt{5+2 \sqrt{2}}$

wayne

对于一般情况,$k= \frac{PD}{PC}$的取值 要根据$\lambda = \frac{PB^2}{PA^2}$的取值情况分段讨论. 需要分类讨论的是$\lambda=0,1,2$拆分的三个区间. 统一表达,就是
$k_{min}=\sqrt{\frac{\lambda  (2 \lambda -3)-2 \sqrt{2} \sqrt{(\lambda -1)^2 \lambda }+2}{(1-2 \lambda )^2}}$, $k_{max}=\sqrt{\frac{\lambda  (2 \lambda -3)+2 \sqrt{2} \sqrt{(\lambda -1)^2 \lambda }+2}{(1-2 \lambda )^2}}$

反正就是$(1-2 \lambda )^2 k^4+\left(-4 \lambda ^2+6 \lambda -4\right) k^2+(\lambda -2)^2 = 0$, 蓝色代表$k$取最小值的曲线段,红色代表$k$取最大值的曲线,再画个图

1. 
   
2. Block[{n=8},Show[{ContourPlot[4-4 \[Lambda]+\[Lambda]^2+(-4+6 \[Lambda]-4 \[Lambda]^2) k^2+(1-4 \[Lambda]+4 \[Lambda]^2) k^4==0,{\[Lambda],0,n},{k,-n/2,n/2},Axes->True,Frame->False,ContourStyle->Dashed,PlotPoints->100],Plot[{Sqrt[(2-2 Sqrt[2] Sqrt[(-1+\[Lambda])^2 \[Lambda]]+\[Lambda] (-3+2 \[Lambda]))/(1-2 \[Lambda])^2],Sqrt[(2+2 Sqrt[2] Sqrt[(-1+\[Lambda])^2 \[Lambda]]+\[Lambda] (-3+2 \[Lambda]))/(1-2 \[Lambda])^2]},{\[Lambda],0,n},PlotStyle->{Blue,Red},PlotPoints->100,PlotRegion->{{0,n},{-n,n}}]}]]
   

复制代码

1. {pa,pb,pc,pd,pp}={{0,s},{s,s},{s,0},{0,0},{x,y}};
   
2. exp=Eliminate[{Total[(pp-pa)^2]==1,Total[(pp-pb)^2]==\[Lambda],Total[(pp-pc)^2]==c^2,Total[(pp-pd)^2]==k^2 c^2},{c,x,y}];
   
3. Minimize[{k, k > 0 && exp}, {s, k}]
   
4. Maximize[{k, k > 0 && exp}, {s, k}]

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hujunhua

按2#的设想，固定正方形的边长为3，保持PB/PA=2，P点在下图蓝色阿氏圆上滑动。
两个极值点是这个阿氏圆与正方形外接圆的交点，其中P₁为极大值点，P₂为极小值点。
PA/PB=定值  的阿氏圆与过A、B两点的圆簇都是正交的。
PD/PC=定值  的阿氏圆与过C、D两点的圆簇都是正交的。
两个圆簇有一个公共圆，即正方形ABCD的外接圆，同时与两个阿氏圆正交，
所以这两个阿氏圆是相切的。

mathe

所以上面的圆左偏，只有左边一半的阿氏圆才可能相切

nyy

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 17109&pid=82830

阿氏圆可以用这边的等式。
精髓就在这两个等式：
r^2=a*b
b/a=k^2（k必须大于1，如果不是大于1，则用1/k）
这个题如果要可以解决，必须有一个焦点同时满足这两个等式

nyy

这个题如果不像2#那样转化为固定正方形，原本的思路是怎么样的，有什么好的方法？