初中几何题：求PD/PC的最小值与最大值

王守恩

设正方形边长为a。

一、最大值   $a^2 = 2^2+ 4^2+ 2·2·4·cos45°=20+8sqrt2$

$frac{PD}{PC}=sqrt{{(sqrt2a)^2-4^2}/{(sqrt2a)^2-2^2}}={4+2sqrt2}/{2+4sqrt2}$

二、最小值   $a^2= 2^2+ 4^2- 2·2·4·cos45°=20-8sqrt2$

$frac{PD}{PC}=sqrt{{(sqrt2a)^2-4^2}/{(sqrt2a)^2-2^2}}={4-2sqrt2}/{4sqrt2-2}$

王守恩

在众多解法中，我溺爱三角函数——直掏主题——△PCD

一、最大值    ${2}/{sintheta}={4}/{sin(45^\circ-theta)}=>cottheta=2sqrt2+1$

$frac{PD}{PC}={sin(45^\circ+theta)}/{costheta}={4+2sqrt2}/{2+4sqrt2}$

二、最小值   ${2}/{sintheta}={4}/{sin(45^\circ+theta)}=>cottheta=2sqrt2-1$

$frac{PD}{PC}={sin(45^\circ-theta)}/{costheta}={4-2sqrt2}/{4sqrt2-2}$

谢谢gxqcn！现在的排版好看。$45^\circ\ \ 45°$摆在一起还是有区别的。

王守恩

接楼上。

一、最大值   

PD是∠APC平分线  ${2}/{PC}={sintheta}/{costheta}=> PC=2cottheta$

PC是∠BPD平分线  ${4}/{PD}={sin(45^\circ-theta)}/{cos(45^\circ-theta)}=> PD=4cot(45^\circ-theta)$

$frac{PD}{PC}={4cot(45^\circ-theta)}/{2cottheta}={4+2sqrt2}/{2+4sqrt2}$

二、最小值   

PB是∠APC平分线  ${2}/{PC}={sintheta}/{costheta}=> PC=2cottheta$

PC是∠BPD平分线  ${4}/{PD}={sin(45^\circ+theta)}/{cos(45^\circ+theta)}=> PD=4cot(45^\circ+theta)$

$frac{PD}{PC}={4cot(45^\circ+theta)}/{2cottheta}={4-2sqrt2}/{4sqrt2-2}$

王守恩

接楼上。

一、最大值   

$frac{PD}{PC}=frac{{2sin(45^\circ-theta)}/{costheta}}{{4sintheta}/{sin(45^\circ+theta)}}={cos(2theta)}/{2sin(2theta)}={cot(2theta)}/{2}={4+2sqrt2}/{2+4sqrt2}$

二、最小值  

$frac{PD}{PC}=frac{{2sin(45^\circ-theta)}/{costheta}}{{4sintheta}/{sin(45^\circ+theta)}}={cos(2theta)}/{2sin(2theta)}={cot(2theta)}/{2}={4-2sqrt2}/{4sqrt2-2}$

hujunhua

【定义】两圆正交，指两圆在交点处的切线正交。

【性质1】两圆正交，当且仅当两圆圆心与任一切点构成一个直角三角形，切点处为直角。
【推论1】设两圆半径分别为`R_1,R_2`, 圆心距为d,  则两圆正交当且仅当$R_1^2+R_2^2=d^2$
【推论2】两圆正交时交点处的切线互过圆心，故一个圆心是公共弦关于另一个圆的极点。
【性质2】两圆正交，如果过一个圆心的任一直线与两圆有4个交点，那么这4个交点构成调和点组。
        *注：其中一个圆的直径`A_1A_2`所在直线与另一个圆相交于`B_1,B_2`, 则交比`(A_1A_2,B_1B_2)=-1`.
        证明：记直径`A_1A_2`的中点为`O_1`, 则由切割线定理有`O_1B_1·O_1B_2=R_1^2`,
                  `∴ O_1B_1·O_1B_2=-O_1A_1·O_1A_2`→`A_1B_1·A_2B_2=-A_1B_2·A_2B_1`
【推论3】由`A_1B_1/A_1B_2=-A_2B_1·A_2B_2`可知圆`O_1`是以`B1,B_2`为基点的一个阿氏圆。
【推论4】阿氏圆与过其两基点的圆（簇）正交。

Jack315

【最大比值】

\(\Delta PAD\cong\Delta FAB\rightarrow c=PD=FB\)
在 \(\Delta PFB\) 中运用余弦定理：\(c=\sqrt{(\sqrt{2}a)^2+b^2-2(\sqrt{2}a)b\cos(45\degree+\theta)}\)
\(\Delta PCB\cong\Delta GAB\rightarrow d=PC=GA\)
在 \(\Delta PGA\) 中运用余弦定理：\(d=\sqrt{a^2+(\sqrt{2}b)^2-2a(\sqrt{2}b)\cos(45\degree+\theta)}\)
比值：
\(k=\frac{PD}{PC}=\frac{c}{d}=\sqrt{\frac{(\sqrt{2}a)^2+b^2-2(\sqrt{2}a)b\cos(45\degree+\theta)}{a^2+(\sqrt{2}b)^2-2a(\sqrt{2}b)\cos(45\degree+\theta)}}=\sqrt{1-\frac{b^2-a^2}{a^2+2b^2-2\sqrt{2}ab\cos(45\degree+\theta)}}\)
余弦取最小值 -1 ，即 \(\theta=135\degree\) 时，比值取得最大值：
\(k_{max}=\frac{\sqrt{2}a+b}{a+\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}+2}{1+2\sqrt{2}}\)

【最小比值】

\(\Delta PAD\cong\Delta FAB\rightarrow c=PD=FB\)
在 \(\Delta PFB\) 中运用余弦定理：\(c=\sqrt{(\sqrt{2}a)^2+b^2-2(\sqrt{2}a)b\cos(45\degree-\theta)}\)
\(\Delta PCB\cong\Delta GAB\rightarrow d=PC=GA\)
在 \(\Delta PGA\) 中运用余弦定理：\(d=\sqrt{a^2+(\sqrt{2}b)^2-2a(\sqrt{2}b)\cos(45\degree-\theta)}\)
比值：
\(k=\frac{PD}{PC}=\frac{c}{d}=\sqrt{\frac{(\sqrt{2}a)^2+b^2-2(\sqrt{2}a)b\cos(45\degree-\theta)}{a^2+(\sqrt{2}b)^2-2a(\sqrt{2}b)\cos(45\degree-\theta)}}=\sqrt{1-\frac{b^2-a^2}{a^2+2b^2-2\sqrt{2}ab\cos(45\degree-\theta)}}\)
余弦取最大值 +1 ，即 \(\theta=45\degree\) 时，比值取得最小值：
\(k_{min}=\frac{\sqrt{2}a-b}{a-\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}-2}{1-2\sqrt{2}}\)