mathe 发表于 2008-5-3 21:31:42

无理角度

最终用分圆不等式解决的方案很精彩，而且可以推广到一般情况已知$cos(theta)={sqrt(3)-1}/2$,那么请问$theta$用度数表示是否是无理数，或者说$theta$如果用弧度表示，是否${theta}/{pi}$是无理数？

mathe 发表于 2008-5-3 21:44:41

这个题目我没有去尝试过，不过我觉得可以利用第二类切皮雪夫多项式来解决:
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html

无心人 发表于 2008-5-4 08:59:55

:)

应该是无理角度

无心人 发表于 2008-5-4 09:00:59

:)

至少1度分割的1-90度间的cos函数应该无此值

无心人 发表于 2008-5-4 09:11:26

:)

刚算出其数值解是角度值$68.529298567560044851501529672774$

zgg___ 发表于 2008-5-4 09:54:21

是无理角度吧。因为sin值是根号下的2分之根号3，那么(cos+i*sin)^n的虚部有4次根号3捣乱，总是没法等于0。所以，(cos+i*sin)^n不能为1，角度也就是无理角了吧。

mathe 发表于 2008-5-4 10:33:38

原帖由 zgg___ 于 2008-5-4 09:54 发表 http://images.5d6d.net/dz60/common/back.gif
是无理角度吧。因为sin值是根号下的2分之根号3，那么(cos+i*sin)^n的虚部有4次根号3捣乱，总是没法等于0。所以，(cos+i*sin)^n不能为1，角度也就是无理角了吧。
如何证明不能简化呢？

无心人 发表于 2008-5-4 10:42:29

:)

上多项式理论吧

mathe 发表于 2008-5-4 10:56:47

**** Hidden Message *****

zgg___ 发表于 2008-5-4 16:04:54

回复 7# 的帖子

这是因为展开后的各项系数，是会满足线形递推的，而线形递推是不大容易为0的，也就是说总会捣乱，呵呵。
设x为(根号下的2分之根号3)*i，那么就相当于证明(-x^2+x-1/2)^n，对于大于1的n其值总是不等于1。
对于每个n，其值都是(x^3,x^2,x,1)的线形组合，其中这4个系数都满足线形递推关系的，特别的x的系数总不是0。
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