特别的x的系数总不是0。
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证据不够充分:)
我是这个意思，上面说的比较混乱，嘻嘻。
假设x为$sqrt(sqrt(3)/2)i$，那么题目就相当于证明$f(n)=(-1/2+x-x^2)^n$，对于$n>1$时，$f(n)!=1$。
我们看到f(n)总可以表示成为$A+Bx+Cx^2+Dx^3$的形式，例如f(0)到f(5)的{A,B,C,D}分别为：{1, 0, 0, 0}、{-1/2,1,-1,0}、{1,-1,2,-2}、{-7/2,3,-3,4}、{7,-8,8,-8}和{-31/2,17,-19,20}。其中B列的系数0、1、-1、3、-8、17、-39……满足递推关系$B(k+4)=-(2B(k+3)+2B(k+1)+B(k))$，（这是因为$-x^2+x-1/2$是方程$x^4+2x^3+2x+1=0$的根。）我们可以看到B列的系数的绝对值是越来越大的，不难证明它再也回不到0了。而如果B列的数不为0，f(n)是不会得实数的（因为x是不能用1、$x^2$、$x^3$来线性表示的）。所以就证明了上面预期的结论。
我本来就是要求递推式$B_{k+4}+2B_{k+3}+2B_{k+1}+B_k=C$的，没想到你逆推回去反而更加容易得出结论:)
:)
是否能证明，在一重二次根和整数的加减乘除的组合
中绝对值小于等于1的三角函数正余弦对应度数
只有15的倍数是唯一的可能有理数？
其他均不可能是有理数
我在考虑一个类似的问题。一个正有理数平方根和另外一个有理数的和差如果不是整数角度的余弦值，那么就不可能是有理数角度的余弦值。
:)
整数角度的余弦如果只考虑0-90只有15的倍数是简单的式子
其他的都不过是
如果设$cos(theta)=a+-sqrt(b)$,其中a,b为有理数
$z=cos(theta)+i sin(theta)$
那么我们有
$z+1/z=2cos(theta)$
z是一个有理系数4次方程的解（也就是整系数4次方程的解）
我们需要证明，对于这样一个z,如果存在整数n使得$z^n=1$,那么z必然是整数角度。
我觉得群论中嘉罗瓦理论里面应该有关于这道题目的有用定理。
我们应该得到$Q$可以看成有理数域Q的线性空间，空间维数不超过4维。但是关于分圆多项式${z^n-1}/{z-1}$我现在所知信息不够多
也就是问，如果对于一个合数n
$z^{n-1}+z^{n-2}+...+1$有某个因式次数不大于4（这个因式对于任意m<n,不是z^m-1的因式），那么是否必然有n|360
:)
你不限定a, b的范围
会得不到最后结果的
我现在有点怀疑这个猜想不成立，不过要构造反例很难