椭圆内接N边形的最大面积
求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内接N边形面积的最大值S(N)？ 本帖最后由 数学星空 于 2012-4-28 08:10 编辑在http://bbs.emath.ac.cn/thread-3740-1-1.html中我们解决了椭圆内接N边形的最大周长问题。
现在我们来讨论最大面积问题：
当然由
定理A (Sas,1939)给定平面上一个凸体C，n>=3,设P_ n表示一个内接于C的面积最大的n边形，
则A(P_n)>=A(C)*(n/(2*pi))*sin((2*pi)/n),等号成立仅当C是一个椭圆
知最大面积的公式:S(N)=(N/(2*pi))*sin((2*pi)/N)*pi*a*b=(N*a*b*sin((2*pi)/N))/2 陈都(chendu)曾在http://bbs.cnool.net/cthread-7657724-2.html 中33楼给出
1826年，几何大师Steiner提出了如下
问题1．在三角形的无数个外接椭圆中,哪一个的面积最小？
问题２．在三角形的无数个内切椭圆中,哪一个的面积最大？
答案 三角形面积最小的外接椭圆，叫做外接Steiner椭圆，其最小面积为4π△/（√27）；三角形面积最大的内切椭圆，叫做内切Steiner椭圆，其最大面积为π△/（√27）．这两个椭圆以该三角形的重心为中心位似（k=2）．（△为△ABC的面积）
由本帖18楼之定理3知,三角形的Steiner椭圆的二对称轴分别平行于它的Kiepert(等轴)双曲线的渐近线。我曾对内切Steiner椭圆作过一番探讨，得到如下：
定理 设△ABC中的有关符号同前文，则该三角形的内切Steiner椭圆的长、短半轴的长度分别为（e+f）/6、（e-f）/6．
推论 以△ABC为底面的直三棱柱的正三角形截面与底面的夹角为Ф，该三角形的Steiner椭圆短轴上的顶点对二焦点的张角为θ，则θ=2Ф． 并在85楼给出了如下问题：
在123楼陈都给出N=3的结论：
本帖最后由 数学星空 于 2012-4-28 08:14 编辑
对于N=3
根据楼上的定理：
由于满足最大面积的三角形有无数个，椭圆C_1:x^2/a^2+y^2/b^2=1 设共轴同心相似的椭圆C_2为x^2/m^2+y^2/n^2=1
取最特殊的三角形A(-a,0),B(m,(b/a)*sqrt(a^2-m^2)),C (m,-(b/a)*sqrt(a^2-m^2))
又AB相切于C_2,则y=b*sqrt(a^2-m^2)*(x-a)/(a*(m+a))与n^2*x^2+m^2*y^2=n^2*m^2的有等根，
即判别式-4*n^2*m^2*a^2*(m+a)^2*(-a*n+a*b-b*m)*(a*n+a*b-b*m)=0......(1)
又C_1相似于C_2,取m=k*a,n=k*b代入(1)得到k=1/2
我们取a=5,b=3,得到
C_1:x^2/5^2+y^2/3^2=1
C_2:x^2/5^2+y^2/3^2=1/4
在C_1上取20个样本点绘图得到
并计算出20个样本点生成的三角形面积均为19.48557158
又S(3)=(3*sqrt(3)*a*b)/4=19.48557158即验证了结论 根据楼上类似的分析:
对于N=4
我们可以取椭圆C_1的四个顶点计算
即y=-b*(x-a)/a与n^2*x^2+m^2*y^2-n^2*m^2=0的判别式为0
可以得到-4*n^2*m^2*a^2*(-m^2*b^2-n^2*a^2+a^2*b^2)=0
又因为C_1相似于C_2,可以设m=k*a,n=k*b代入得到k=sqrt(2)/2
最终我们可以得到:S(4)=2*a*b
我们同样取a=5,b=3,m=5/sqrt(2),n=3/sqrt(2)
及20个样本点绘图
并计算20个样本点生成的四边形的面积均为30与S(4)=2*a*b=30一致 本帖最后由 数学星空 于 2012-4-28 08:11 编辑
我们似乎可以类似于椭圆内接最大N边形周长的求法来依次算出3～10公式
并且计算过程要简单的多。。。。
根据2#的答案，我们似乎可以用不等式的方法来给出最大值S(N) 面积问题很简单，结果也应该简洁。
主要在于平面上任意两个图形，仿射变换会保持它们面积的比例不变。
于是对于1楼，我们只要将椭圆仿射成圆，那么我们就知道，最大面积是内接正N边形，计算出面积，仿射回去即得到最大值。
同样，对于3楼的问题，我们只需要先将三角形仿射变换成正三角形，于是只要考虑这个特殊情况问题即可（我猜测这时是圆） 对于三楼的问题，我们可以先证明对于圆来说，面积最大内接三角形是正三角形，面积最小的外切三角形也是正三角形。由此通过仿射可以得出正三角形，面积最大的内切椭圆是圆，面积最小的外接椭圆也是圆。