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[提问] 椭圆内接N边形的最大面积

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发表于 2012-4-26 20:25:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$内接$N$边形面积的最大值$S(N)$?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2012-4-26 20:28:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学星空 于 2012-4-28 08:10 编辑

http://bbs.emath.ac.cn/thread-3740-1-1.html中我们解决了椭圆内接N边形的最大周长问题。
现在我们来讨论最大面积问题:
当然由
定理A    (Sas,1939)给定平面上一个凸体$C$,$n>=3$,设$P_ n$表示一个内接于$C$的面积最大的$n$边形,
   则$A(P_n)>=A(C)*(n/(2*pi))*sin((2*pi)/n),$等号成立仅当$C$是一个椭圆
知最大面积的公式:$S(N)=(N/(2*pi))*sin((2*pi)/N)*pi*a*b=(N*a*b*sin((2*pi)/N))/2$
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 楼主| 发表于 2012-4-26 20:44:16 | 显示全部楼层
陈都(chendu)曾在http://bbs.cnool.net/cthread-7657724-2.html 中33楼给出

1826年,几何大师Steiner提出了如下

  问题1.在三角形的无数个外接椭圆中,哪一个的面积最小?

  问题2.在三角形的无数个内切椭圆中,哪一个的面积最大?

  答案   三角形面积最小的外接椭圆,叫做外接Steiner椭圆,其最小面积为4π△/(√27);三角形面积最大的内切椭圆,叫做内切Steiner椭圆,其最大面积为π△/(√27).这两个椭圆以该三角形的重心为中心位似(k=2).(△为△ABC的面积)

  由本帖18楼之定理3知,三角形的Steiner椭圆的二对称轴分别平行于它的Kiepert(等轴)双曲线的渐近线。我曾对内切Steiner椭圆作过一番探讨,得到如下:

  定理    设△ABC中的有关符号同前文,则该三角形的内切Steiner椭圆的长、短半轴的长度分别为(e+f)/6、(e-f)/6.

  推论    以△ABC为底面的直三棱柱的正三角形截面与底面的夹角为Ф,该三角形的Steiner椭圆短轴上的顶点对二焦点的张角为θ,则θ=2Ф.
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 楼主| 发表于 2012-4-26 20:45:35 | 显示全部楼层
并在85楼给出了如下问题:
001.jpg
002.jpg
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 楼主| 发表于 2012-4-26 20:49:26 | 显示全部楼层
在123楼陈都给出$N=3$的结论:
003.jpg
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 楼主| 发表于 2012-4-27 23:25:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学星空 于 2012-4-28 08:14 编辑

对于$N=3$
根据楼上的定理:
由于满足最大面积的三角形有无数个,椭圆$C_1:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 设共轴同心相似的椭圆$C_2$为$x^2/m^2+y^2/n^2=1$
取最特殊的三角形$A(-a,0),B(m,(b/a)*sqrt(a^2-m^2)),C (m,-(b/a)*sqrt(a^2-m^2))$
又$AB$相切于$C_2$,则$y=b*sqrt(a^2-m^2)*(x-a)/(a*(m+a))$与$n^2*x^2+m^2*y^2=n^2*m^2$的有等根,
即判别式$-4*n^2*m^2*a^2*(m+a)^2*(-a*n+a*b-b*m)*(a*n+a*b-b*m)=0$......(1)
又$C_1$相似于$C_2$,取$m=k*a,n=k*b$代入(1)得到$k=1/2$

我们取$a=5,b=3$,得到
$C_1:x^2/5^2+y^2/3^2=1$
$C_2:x^2/5^2+y^2/3^2=1/4$
在$C_1$上取$20$个样本点绘图得到
301.jpg
并计算出$20$个样本点生成的三角形面积均为$19.48557158$
又$S(3)=(3*sqrt(3)*a*b)/4=19.48557158$即验证了结论
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 楼主| 发表于 2012-4-27 23:38:38 | 显示全部楼层
根据楼上类似的分析:
对于$N=4$
我们可以取椭圆$C_1$的四个顶点计算
即$y=-b*(x-a)/a$与$n^2*x^2+m^2*y^2-n^2*m^2=0$的判别式为0
可以得到$-4*n^2*m^2*a^2*(-m^2*b^2-n^2*a^2+a^2*b^2)=0$
又因为$C_1$相似于$C_2$,可以设$m=k*a,n=k*b$代入得到$k=sqrt(2)/2$
最终我们可以得到:$S(4)=2*a*b$

我们同样取$a=5,b=3,m=5/sqrt(2),n=3/sqrt(2)$
及$20$个样本点绘图
401.jpg
并计算$20$个样本点生成的四边形的面积均为$30$与$S(4)=2*a*b=30$一致
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 楼主| 发表于 2012-4-27 23:42:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学星空 于 2012-4-28 08:11 编辑 我们似乎可以类似于椭圆内接最大N边形周长的求法来依次算出3~10公式 并且计算过程要简单的多。。。。 根据2#的答案,我们似乎可以用不等式的方法来给出最大值$S(N)$
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发表于 2012-4-28 07:44:56 | 显示全部楼层
面积问题很简单,结果也应该简洁。 主要在于平面上任意两个图形,仿射变换会保持它们面积的比例不变。 于是对于1楼,我们只要将椭圆仿射成圆,那么我们就知道,最大面积是内接正N边形,计算出面积,仿射回去即得到最大值。 同样,对于3楼的问题,我们只需要先将三角形仿射变换成正三角形,于是只要考虑这个特殊情况问题即可(我猜测这时是圆)

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发表于 2012-4-28 07:52:46 | 显示全部楼层
对于三楼的问题,我们可以先证明对于圆来说,面积最大内接三角形是正三角形,面积最小的外切三角形也是正三角形。由此通过仿射可以得出正三角形,面积最大的内切椭圆是圆,面积最小的外接椭圆也是圆。
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