6 阶模幻方的搜索
$Z_6^2$上的最优幻方在编排6阶全对称幻方时，排成蜂窝状网格（又称为等距网格）比排成方格可体现更高的对称性，如图1所示。图中坐标相同的格为同一格，表现了所谓全对称幻方是嵌入到一个三维环面（轮胎面）的。在平面上表现时，可以按这个局部呈现的相邻关系扩展到整个平面上。扩展后，将视野取为一个如图2那样的正六角形区域时，呈现了6阶幻方的旋转对称性。在等距格网上，原来方格网上的一条对角线（x=y）看起来成为一条主轴。等距网格的对角线定义为相距次近的两格的连线，如图1中的黄色格列（在图2的正六角形视野中，呈现为正六角形的长对角线方向）。按此定义，6阶幻方有3条主轴方向和3条对角线方向，我们要求在其中的每一个方向上直线排列的6格数之和都等于幻方和数。这就比通常所谓的“全对称幻方”约束更多，对称性更高。模幻方，打开一个全新且美妙的领域
图1 菱形视野 图2 六角形视野
用代数学的语言来描述，6阶幻方就是$Z_6^2$→｛1, 2, 3, ..., 36｝的一个映射f, f 满足某些函数方程，即幻方编排者所称的幻方律。比如关于行的幻方律即
f(x,y)+f(x,y+1)+f(x,y+2)+...+f(x,y+5)=6A(A是36个填入数的平均值）
由于 f 的定义域为模$Z_6^2$, 所以这类幻方宜可称之为模上的幻方，简称模幻方。
除了定义时给出的2条幻方律（其实是6条，但是可用主轴线和对角线分别概括），6阶模幻方还有一些导出的幻方律，展现了其6阶旋转对称性。
导出律1：对角线上的相间三格之和等于3A。如图3所示。变换视野，一条对角线的相间3格布成一个正三角形。图4显示两条这样的半对角线布成了一个正六角形，六角之和等于6A（导出律2）。
导出律3：见图5，4个黄色格（其中格33带红色纹线）之和等于4A。格33也可以在带纹线的青色格的位置，在此视野中这四格呈菱形。
图3 导出律1：对角线上的相间三格之和等于3A 图4导出律2：正六角形的六角之和等于6A 图5 导出律3：边长为4格的菱形四角之和等于4A
还有更多的表现6阶旋转对称性的导出律，下帖给出。这些导出律并非观察具体的数字而来，而是依据定义所给的约束方程消元而得。要用具体的数字来验证这些幻方律，我暂时还没有实例，因为我至今也没有编排出一个6阶模幻方的实例。事实上，对于这样的6阶幻方，用｛1, 2, 3, ..., 36｝是填不成功的。因为，图5中的4格减去图3中3格=4A-3A=A，所以A必须是整数。若用｛1, 2, 3, ..., 36｝，总和Σ=18×37，A=Σ/36 非整数。
为了编出6阶模幻方，f 只能取其它的值域。为了保持幻方的数字之美，值域应该满足一定的要求。我们的要求是尽可能接近自然数前段{1~36}。由于18×37≡18(mod 36), 所以要使A为整数，最接近｛1~36｝的数组是从中去掉18，添上0，即｛0~17，19~36｝。
这就是本擂的目标：用｛0~17，19~36｝填入构建6阶模幻方。 导出律4：如图6所示的边平行于主轴的最小正六角形（黄色格），六角之和加上中心格的2倍等于8A
导出律5：如图7所示的边平行于对角线的最小正六角形（黄色格），六角之和减去中心格等于5A
图6导出律4 图7导出律5 导出律6：图8所示正六角形区域的13个黄格之和等于13A. 由图6与图7叠加即得。
导出律7：图9所示正六边形区域的19个黄格之和等于19A. 由图8与图4叠加即得。
图8 导出律6 图9导出律7 导出律6：图8所示正六角形区域的13个黄格之和等于13A. 由图6与图7叠加即得。
导出律7：图9所示正六边形区域的19个黄格之和等于19A. 由图8与图4叠加即得。
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图8 导出律6 ...
hujunhua 发表于 2013-1-6 11:35 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
我更关心你的图是如何弄出来的 4# 郭先抢
我会有交代的。
导出律1和导出律3涉及的格子少，导出律4涉及的格子密集，这很有利于手工得出参数解。图10就是一个在36个填入数之和为零（称为零和幻方）的条件下的参数布置方案。如果我们用填入数｛±1, ±2, ±3, ..., ±18｝,就会产生零和幻方。
图10 参数解
6阶零和模幻方的定义中给出的36个约束方程的秩为24，所以参数解的维数为12. 上图中我们选两个白六角形的六个角a1,b1,...,f1, a2,b2, ..., f2为参数，其它格就可以由上述导出律得到。s1=-(a1+b1+...+f1)/2, s2=-(a2+b2+...+f2)/2, s3=-(s1+s2), a3=-(a1+a2),.... 为什么不是精华帖呢? 终于自己编了程序开始搜索，已经计算20个小时了，还没有输出一个结果， 也就是说搜索到现在还没有发现一个解。
都快失去信心了，担心会最后运行结果就是这样无息而终。那就表明问题是无解的，或者程序有问题。
很后悔没有输出一些中间结果来提示进度，现在没法估计还得多久搜索计算完。
@wayne @chyanog现在能否将程序暂停，以便通过查看中间结果了解进度，然后再继续？ hujunhua 发表于 2015-7-5 00:44
终于自己编了程序开始搜索，已经计算20个小时了，还没有输出一个结果， 也就是说搜索到现在还没有发现一个 ...
程序正在运行的时候，查看中间结果，这个我没有做过。
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可以再QQ群里@chyanog 今天上午9点将程序终止运行了，检查中间结果，发现进度大约为5%。程序运行了52小时。
照此速度，全部搜索完得1000小时。太恐怖了！当初阿佩尔证明四色定理也才计算了1200小时。 我们要求在其中的每一个方向上直线排列的6格数之和都等于幻方和数
这句话怎么理解？