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[擂台] 6 阶模幻方的搜索

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发表于 2013-1-5 03:19:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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$Z_6^2$上的最优幻方

        在编排6阶全对称幻方时,排成蜂窝状网格(又称为等距网格)比排成方格可体现更高的对称性,如图1所示。图中坐标相同的格为同一格,表现了所谓全对称幻方是嵌入到一个三维环面(轮胎面)的。在平面上表现时,可以按这个局部呈现的相邻关系扩展到整个平面上。扩展后,将视野取为一个如图2那样的正六角形区域时,呈现了6阶幻方的旋转对称性。在等距格网上,原来方格网上的一条对角线(x=y)看起来成为一条主轴。等距网格的对角线定义为相距次近的两格的连线,如图1中的黄色格列(在图2的正六角形视野中,呈现为正六角形的长对角线方向)。按此定义,6阶幻方有3条主轴方向和3条对角线方向,我们要求在其中的每一个方向上直线排列的6格数之和都等于幻方和数。这就比通常所谓的“全对称幻方”约束更多,对称性更高。
精华

      

四边形视野

四边形视野

六角形视野

六角形视野

                               图1   菱形视野                                                                                                                                           图2 六角形视野
         用代数学的语言来描述,6阶幻方就是$Z_6^2$→{1, 2, 3, ..., 36}的一个映射f, f 满足某些函数方程,即幻方编排者所称的幻方律。比如关于行的幻方律即
               $ f(x,y)+f(x,y+1)+f(x,y+2)+...+f(x,y+5)=6A$($A$是36个填入数的平均值)
由于 f 的定义域为模$Z_6^2$, 所以这类幻方宜可称之为模上的幻方,简称模幻方。

       除了定义时给出的2条幻方律(其实是6条,但是可用主轴线和对角线分别概括),6阶模幻方还有一些导出的幻方律,展现了其6阶旋转对称性。

导出律1:对角线上的相间三格之和等于3A。如图3所示。变换视野,一条对角线的相间3格布成一个正三角形。图4显示两条这样的半对角线布成了一个正六角形,六角之和等于6A(导出律2)。
导出律3:见图5,4个黄色格(其中格33带红色纹线)之和等于4A。格33也可以在带纹线的青色格的位置,在此视野中这四格呈菱形。

幻方律1

幻方律1
幻方律6.jpg 幻方律2.JPG
图3    导出律1:对角线上的相间三格之和等于3A                   图4  导出律2:正六角形的六角之和等于6A              图5 导出律3:边长为4格的菱形四角之和等于4A
      
        还有更多的表现6阶旋转对称性的导出律,下帖给出。这些导出律并非观察具体的数字而来,而是依据定义所给的约束方程消元而得。要用具体的数字来验证这些幻方律,我暂时还没有实例,因为我至今也没有编排出一个6阶模幻方的实例。事实上,对于这样的6阶幻方,用{1, 2, 3, ..., 36}是填不成功的。因为,图5中的4格减去图3中3格=4A-3A=A,所以A必须是整数。若用{1, 2, 3, ..., 36},总和Σ=18×37,A=Σ/36 非整数。
        为了编出6阶模幻方,f 只能取其它的值域。为了保持幻方的数字之美,值域应该满足一定的要求。我们的要求是尽可能接近自然数前段{1~36}。由于18×37≡18(mod 36), 所以要使A为整数,最接近{1~36}的数组是从中去掉18,添上0,即{0~17,19~36}。

这就是本擂的目标:用{0~17,19~36}填入构建6阶模幻方。
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 楼主| 发表于 2013-1-5 03:23:24 | 显示全部楼层
导出律4:如图6所示的边平行于主轴的最小正六角形(黄色格),六角之和加上中心格的2倍等于8A
导出律5:如图7所示的边平行于对角线的最小正六角形(黄色格),六角之和减去中心格等于5A

图6 导出律4

图6  导出律4

图7 导出律5

图7  导出律5

         图6  导出律4                                                                            图7  导出律5
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 楼主| 发表于 2013-1-6 11:35:44 | 显示全部楼层
导出律6:图8所示正六角形区域的13个黄格之和等于13A. 由图6与图7叠加即得。
导出律7:图9所示正六边形区域的19个黄格之和等于19A. 由图8与图4叠加即得。

图8 导出律6

图8  导出律6

图9 导出律7

图9  导出律7

                         图8   导出律6                                                    图9  导出律7
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发表于 2013-1-6 15:32:25 | 显示全部楼层
导出律6:图8所示正六角形区域的13个黄格之和等于13A. 由图6与图7叠加即得。
导出律7:图9所示正六边形区域的19个黄格之和等于19A. 由图8与图4叠加即得。
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                         图8   导出律6       ...
hujunhua 发表于 2013-1-6 11:35

我更关心你的图是如何弄出来的
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 楼主| 发表于 2013-1-6 17:39:02 | 显示全部楼层
4# 郭先抢
我会有交代的。

导出律1和导出律3涉及的格子少,导出律4涉及的格子密集,这很有利于手工得出参数解。图10就是一个在36个填入数之和为零(称为零和幻方)的条件下的参数布置方案。如果我们用填入数{±1, ±2, ±3, ..., ±18},就会产生零和幻方。

图10 参数解

图10  参数解

                                 图10   参数解

6阶零和模幻方的定义中给出的36个约束方程的秩为24,所以参数解的维数为12. 上图中我们选两个白六角形的六个角a1,b1,...,f1, a2,b2, ..., f2为参数,其它格就可以由上述导出律得到。s1=-(a1+b1+...+f1)/2, s2=-(a2+b2+...+f2)/2, s3=-(s1+s2), a3=-(a1+a2),....
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发表于 2013-11-21 16:49:14 | 显示全部楼层
为什么不是精华帖呢?
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 楼主| 发表于 2015-7-5 00:44:06 | 显示全部楼层
终于自己编了程序开始搜索,已经计算20个小时了,还没有输出一个结果, 也就是说搜索到现在还没有发现一个解。
都快失去信心了,担心会最后运行结果就是这样无息而终。那就表明问题是无解的,或者程序有问题。
很后悔没有输出一些中间结果来提示进度,现在没法估计还得多久搜索计算完。

@wayne @chyanog现在能否将程序暂停,以便通过查看中间结果了解进度,然后再继续?
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发表于 2015-7-6 09:35:36 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2015-7-5 00:44
终于自己编了程序开始搜索,已经计算20个小时了,还没有输出一个结果, 也就是说搜索到现在还没有发现一个 ...

程序正在运行的时候,查看中间结果,这个我没有做过。
====
可以再QQ群里@chyanog
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 楼主| 发表于 2015-7-6 18:07:07 | 显示全部楼层
今天上午9点将程序终止运行了,检查中间结果,发现进度大约为5%。程序运行了52小时。
照此速度,全部搜索完得1000小时。太恐怖了!当初阿佩尔证明四色定理也才计算了1200小时。
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发表于 2019-12-15 17:15:16 | 显示全部楼层
我们要求在其中的每一个方向上直线排列的6格数之和都等于幻方和数

这句话怎么理解?
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