太神奇了, 真没想到这题还有后续. 我也看懂思路了,问题是求$x^4+y^4+z^4 = 1$ 的有理解.
记$f(x,y,z)=\frac{(x-y)^2-z^2-1}{(x-y)+x^2-x y+y^2}$, 那么,可以设置三个新的变量$u=f(x, y, z),v=f(y, z,x),w=f(z,x, y, )$,
于是存在关系 \
用$u,v$表达$x,y,z$,发现,只需要解一个方程就行
func=Function[{x,y,z},((x-y)^2-z^2-1)/(x^2-x y+y^2+(x-y))];
First@Solve[{func==u,func==v,1==x^4+y^4+z^4},{x,y,z}]//Factor
Collect[-48+32 u-16 u^3+4 u^4+32 v+32 u v-64 u^2 v+48 u^3 v-8 u^4 v-64 u v^2+48 u^2 v^2-16 u^3 v^2-16 v^3+48 u v^3-16 u^2 v^3+8 u^3 v^3-4 u^4 v^3+4 v^4-8 u v^4-4 u^3 v^4+u^4 v^4,v,Factor]
\[
\begin{align}
D^2 = 4(-6 - 2u + u^2)(2 - 2u + u^2) - 8(-2 - 4u + u^2)(2 - 2u + u^2)v - 16u(4 - 3u + u^2)v^2 - 4(4 - 12u + 4u^2 - 2u^3 + u^4)v^3 + (4 - 8u - 4u^3 + u^4)v^4
\end{align}\]
\[\begin{align}
x &= \frac{P_1\pm(u^2-2u+2)(v^2-2v)\sqrt{D^2}}{P_0+D^2}\\
y &= \frac{-(P_1+P_2+P_3)\pm 2(u+v-2)(u+v-uv)\sqrt{D^2}}{P_0+D^2 \quad}\\
z &= \frac{P_3\pm(v^2-2v+2)(u^2-2u)\sqrt{D^2}}{P_0+D^2}
\end{align}
\]
\[\begin{align}
P_0 &= (2 + u^2)(2 + v^2)(12 - 8u + 2u^2 - 8v + 2v^2 + u^2v^2)\\
P_1 &= (-4 + 4u + 2v - u^2v)(8u - 4u^2 + 4v - 8 u v + 2u^2v - 4v^2 + 2v^3 + u^2v^3)\\
P_2 &= 2(- 4 + 4u + 2v - u^2v)(4 - 2u - 4v + u v^2)(-u + v)\\
P_3 &= (4 - 2u - 4v + u v^2)(4u - 4u^2 + 2u^3 + 8v - 8 u v - 4v^2 + 2 u v^2 + u^3v^2)\end{align}\]
最终,我们只需要找到方程$(1)$的有理解就行. 对于每一组有理解$(u,v,D)$,原题都可以双有理变换到一个椭圆曲线,每个椭圆曲线构成一族无穷组有理解.
有人根据已知的解逆向反推,再结合暴力搜索,找到了16个较小的u的解
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{#} & u & v & &\text{#} & u & v\\
\hline
1 & -\dfrac{9}{20} & \; -\dfrac{1041}{320} & & 9 & -\dfrac{41}{36} & -\dfrac{4061}{16308}\\
\hline
2 & -\dfrac{29}{12} & \;\dfrac{1865}{132} & & \color{blue}{10} & -\dfrac{5}{44} & \dfrac{57878913}{12642040}\\
\hline
3 & -\dfrac{93}{80} & -\dfrac{400}{37} & & \color{blue}{11} & +\dfrac{233}{60} & \;\dfrac{7584}{54605}\\
\hline
\color{red}4 & -\dfrac{400}{37} & -\dfrac{93}{80} & & \color{blue}{12} & -\dfrac{56}{165} & -\dfrac{383021}{380940}\\
\hline
5 & -\dfrac{136}{133} & +\dfrac{201}{4} & & \color{blue}{13} & -\dfrac{125}{92} & -\dfrac{936}{5281}\\
\hline
\color{red}6 & +\dfrac{201}{4} & -\dfrac{136}{133} & & 14 & -\dfrac{361}{540} & +\dfrac{1861}{240}\\
\hline
7 & -\dfrac{5}{8} & -\dfrac{477}{692} & & 15 & -\dfrac{817}{660} & -\dfrac{1581}{1520}\\
\hline
\color{red}8 & -\dfrac{477}{692} & -\dfrac{5}{8} & & 16 & -\dfrac{865}{592} & -\dfrac{14177}{20156}\\
\hline
\end{array}
\]
根据这个链接,https://math.stackexchange.com/questions/4857229/on-why-solutions-to-x4y4z4-1-come-in-pairs, 又补充了第17组解$(u,v)=(\frac{553}{80},-\frac{33400}{19537})$
验证代码
func=Function[{x,y,z},((x-y)^2-z^2-1)/(x^2-x y+y^2+(x-y))];
Factor+func+func)-funcfuncfunc-4]
Block[{u=553/80,v=-33400/19537},Solve]
从目前整理的信息来看, 所有人都不确定是否还有更小的解. 没准咱们基于这个思路 能够 捡到漏, 调整一下这93个解的排位
https://math.stackexchange.com/questions/1853223/distribution-of-primitive-pythagorean-triples-ppt-and-of-solutions-of-a4b4/4857107#4857107
422481; 414560, 217519, 95800 (Frye, 1988); C1, u = -9/20.
2813001; 2767624, 1390400, 673865 (MacLeod 1997); C1, u = -9/20.
8707481; 8332208, 5507880, 1705575 (Bernstein, 2001); u = -29/12.
12197457; 11289040, 8282543, 5870000 (Bernstein, 2001); u = -93/80, -400/37.
16003017; 14173720, 12552200, 4479031 (Bernstein, 2001); u = -136/133, 201/4.
16430513; 16281009, 7028600, 3642840 (Bernstein, 2001); u = 12185/432.
20615673; 18796760, 15365639, 2682440 (Elkies, 1986); C0, u = -5/8.
44310257; 41084175, 31669120, 2164632 (Gerbicz, 2006); u = -817/660.
68711097; 65932985, 42878560, 10409096 (Gerbicz, 2006); u = -21021/9788.
117112081; 106161120, 87865617, 34918520 (Gerbicz, 2006); u = (big).
145087793; 122055375, 121952168, 1841160 (Rathmann, 2007); u = -361/540.
156646737; 146627384, 108644015, 27450160 (Rathmann, 2007); u = -136/133.
589845921; 582665296, 260052385, 186668000 (Tomita, 2006); C0, u = -5/8.
638523249; 630662624, 275156240, 219076465 (MacLeod, 1998); C0, u = -5/8.
873822121; 769321280, 606710871, 558424440 (GDRZ, 2007); u = -12285/4112.
1259768473; 1166705840, 859396455, 588903336 (GDRZ, 2008); C5, u = -41/36.
1679142729; 1670617271, 632671960, 50237800 (Tomita, 2006); C1, u = -9/20.
1787882337; 1662997663, 1237796960, 686398000 (GDRZ, 2007); u = -93/80.
1871713857; 1593513080, 1553556440, 92622401 (GDRZ, 2007); u = -865/592.
3393603777; 3134081336, 2448718655, 664793200 (Tomita, 2007); C0, u = -5/8.
5179020201; 24743080, 3971389576, 4657804375 (Fulea, Feb 2024); u = 553/80.
12558554489; 11988496761, 7813353720, 4707813440 (Bremner, 2015); u = 233/60.
15434547801; 15355831360, 5821981400, 140976551 (Tomita, 2007); C1
39871595729; 36295982895, 29676864960, 11262039896 (Tomita, Feb 2024)
46055390617; 18125123544, 41714673255, 34169217200 (Tomita, 2024); C5
64244765937; 52289667920, 17111129720, 55479193841 (Piezas, 2024); C9, u = -125/92
76973733409; 39110088360, 49796687200, 71826977313 (Tomita, Feb 2024)
521084370137; 372623278887, 435210480720, 369168502640 (Tomita, Feb 2024)
597385645737; 443873167360, 142485966505, 544848079888 (Tomita, Feb 2024)
820234293081; 78558599440, 814295112544, 337210257575 (Tomita, Feb 2024)
1059621884297; 535914713672, 1041572957760, 187577183625 (Piezas, 2024)
1367141947873; 1226022682752, 1047978087905, 408600530760 (Bremner, 2015)
1682315502153; 468405247415, 1657554153472, 801719896720 (Tomita, Feb 2024)
2051764828361; 125777308440, 894416022327, 2032977944240 (Tomita, 2024)
5062297699257; 4987588419655, 2480452675600, 502038853976 (Tomita, 2008); C0
6014017311081; 66822832760, 1313903832425, 6010589044544 (Fulea, Feb 2024)
6382441853233; 2927198165920, 613935345969, 6310500741600 (Tomita, Feb 2024)
7082388012473; 4408757988560, 5819035124295, 5611660306848 (Tomita, Feb 2024)
25866132798297; 23449050222680, 18776929334105, 12035933588696 (Piezas, 2024); C9
26969608212297; 487814048600, 8528631804200, 26901926181047 (Fulea, Feb 2024)
27497822498977, 19031674138785, 25762744660064, 2054845288320 (Tomita, Feb 2024)
29999857938609; 27239791692640, 22495595284040, 7592431981391 (Tomita, 2006); C1
45556888578449; 27546142170735, 7908038161032, 43940127884360 (Tomita, 2024)
58844817090201; 34511786481280, 56329979520665, 26636493544576 (Tomita, Feb 2024)
230791363907489, 148739531603136, 32467583677535, 220093974949320 (Tomita, Feb 2024)
573646321871961; 514818101299289, 440804942580160, 130064300991400 (Tomita, 2008); C1
5380742305932201; 1554532675059625, 1841841620201576, 5352683902805120 (Fulea, Feb 2024)
20249506709579721; 18565945114216720, 14890026433468471, 3579087147375440 (Tomita, 2008); C0
62940516903410601; 56827813308111785, 47886740272114976, 8813425670440240 (Tomita, 2008); C0
87486470529871881; 16306696482461560, 21794572772239369, 87375622888246360 (Fulea, Feb 2024)
103117303193818953; 4092004076331400, 24975412054750025, 103028409596553328; (Fulea, Feb 2024)
481334894209428521; 343651286746207896, 438980913824794665, 225712385669145920 (Piezas, 2024)
1592672455342770513; 208032601069058735, 851144034922098880, 1559028675188874616 (Piezas, 2024)
2778996090487120353; 2556827383749699103, 2024155336530384440, 585715960903147640 (Bremner, 2015); C7
10816708329115215113; 9585769407872803575, 8510180374729994520, 985735303963754488 (Piezas, 2024)
20234461127553384633; 19399184483902029008, 2329747842666412840, 12696186158476139705 (Tomita, 2024); C7
77107030404994920297; 69320669852667799672, 38320435200564613600, 56375727168307546985 (Tomita, 2024); C9
101783028910511968041; 99569174129827461335, 21710111037730547416, 54488888702794271560 (Piezas, 2024); C1
108593344076382641697; -46196947347028916440, -107238802094189542120, 38751631463616255521 (Bremner, 2024); C0
202540855134365138633; 201236910265023650505, 705558147137161920, 80940380256877627544 (Piezas, 2024)
228746036963039501833; 163180699054891578792, 84616109521023161865, 210878774189729581880 (Piezas, 2024)
375075545025537358721; 335981923744570504065, 188195571677171463096, 275897431444390465240 (Piezas, 2024)
1671674986261410994097; 1199828498161126807800, 1534990269771364822095, 655960628418767673472 (Piezas, 2024)
2711100675240842912689; 1977857900813232827064, 1617105485720597938520, 2376217986337223238735 (Piezas, 2024)
3037467718844497770129; 2877363855098380947880, 444897078221606141840, 2016612085130087009647 (Tomita, 2024); C7
4069249774250960557713; 3819055879832290430609, 842141328509923524200, 2794258267049888616280 (Piezas, 2024)
9649219915259253551497; 7599957410902753037705, 8407785501400674212160, 4280294741983707700872 (Tomita, Feb 2024)
10739931407728904606857; 772654695228940017240, 10320518856970101984393, 6653143628547990852040 (Piezas, 2024)
11305555143522867817873; 10539980352556633840239, 7799922278924748599160, 4141571237269338150920 (Tomita, 2024); C5
12214291847502204701241; 7745659501403353894384, 2120589250533219579335, 11684173258429439467360 (Tomita, Feb 2024)
17503689286309573964097; 15876595946759369395903, 7188470920864810763360, 12896301483090810351440 (Tomita, 2024)
18276027741543869996617; 13226266181198583365544, 16841033682021117865520, 4780632380106855105975 (Tomita, 2024); C5
24504057146788194291849; 1519814187310380835480, 23896480714429616100215, 13623248018235893097232 (Tomita, 2024); C7
29998124444432653523113; 12036780855644297767488, 23415987016826083521705, 26432693245716083746520 (Tomita, Feb 2024)
120175486227071990769561; 30248376090268690676600, 118508989446504950664160, 56915898438422390129561 (Tomita, 2024); C1
409840652625395469143913; 381461080909525552802665, 168213921178037201816584, 281048473715879152495040 (Tomita, 2024)
587020625514136613276553; 179164925544119666072000, 222787467202130880567415, 582653975191641098286104 (Piezas, 2024)
864745895259187110399737; 57810716855047169409080, 591519768111748983750888, 812937165464036006213895 (Piezas, 2024)
1088768337585323892067521; 76399836994875695614145, 974071910293355929264000, 842960029363955380661896 (Piezas, Feb 2024)
1171867103503245199920081; 1165970778032514255823760, 440517744543240750721000, 59421842165791512201169 (Tomita, 2024); C1
1779979592349189232414713; 1724845107301282006322000, 574585584668340612894713, 1018986340666195845813760 (Tomita, 2024)
1796867575393608033006561; 21904850878998429166561, 1771894249938641198780200, 867970652747799735398360 (Piezas, 2024)
3122849928997768901912409; 1891988836723177605880960, 985329200220584284726784, 3003225858017812695181145 (Tomita, Feb 2024)
6714012701109174954871521; 1758067984180618846616200, 6632467268281371571709360, 3057432874236989781768479 (Tomita, 2024); C1
8997319881974346759473697; 8281143989708209432415360, 1749772249172099623115896, 6550300128305909879699935 (Tomita, 2024)
19874054816411213708481009; -5967420362778572362681840, -19270755733101284410120384, 11389900458885552539102735 (Bremner, 2024); C0
21291952935426564624339201; 5328636655728999148343576, 20991236668646283695879935, 10137374115207940432133560 (Tomita, 2024); C1
31293260543726494476580617; 27386104940472276169105720, 25024939958628554701755145, 8089277164034877786318544 (Bremner, 2015); C9
34497456764264994703368889; 12209879806944320496330055, 26621272474250391413865480, 30730370351168229154149048 (Tomita, Feb 2024)
96242977191578497031965033; 47172089378698523207965335, 26409847035187091768472744, 94680315476024517009462320 (Tomita, 2024); C5
133140691304639620846181457; 129410861225043592041256520, 41328162329293632574512440, 74522041242387759937530799 (Bremner, 2024); C0
227529118288906398066378489, 85818832944459457142858489, 226369052354324181334408840, 2650718685573298353948640 (Piezas, 2024); C1
452835938257547709708389177, 451622371501239854889723705, 10453265194894185904695360, 145561707582919191804801464 (Piezas, 2024)
不过, 我自己也有一个思路, 对于$a^4+b^4+c^4=d^4$, 只考虑$gcd(a,b,c,d)=1$的情况,那么一定是一对偶数,一对奇数. 于是,不妨设$p\leftarrow\frac{a+b}{2},q\leftarrow\frac{a-b}{2},u\leftarrow\frac{c+d}{2},v\leftarrow\frac{d-c}{2}$,
得到 $4 u v (u^2+v^2)=(p^2+q^2)^2+(2 p q)^2$ ,而这个方程 就是涉及 高斯整数分解了. $u,v$都是形如$x^2+y^2$的形式.
wayne 发表于 2025-5-27 21:44
太神奇了, 真没想到这题还有后续. 我也看懂思路了,问题是求$x^4+y^4+z^4 = 1$ 的有理解.
记$f(x,y,z)=\frac ...
我发现这题可以继续玩下去的空间很大.比如 关于这里的D,Mathematica很容易就能得到.
func=Function[{x,y,z},((x-y)^2-z^2-1)/(x^2-x y+y^2+(x-y))];
First@Solve[{func==u,func==v,1==x^4+y^4+z^4},{x,y,z}]//Factor
Collect[-48+32 u-16 u^3+4 u^4+32 v+32 u v-64 u^2 v+48 u^3 v-8 u^4 v-64 u v^2+48 u^2 v^2-16 u^3 v^2-16 v^3+48 u v^3-16 u^2 v^3+8 u^3 v^3-4 u^4 v^3+4 v^4-8 u v^4-4 u^3 v^4+u^4 v^4,v,Factor]
而这是一个关于$u,v$的八次方程.留意到是关于$u,v$轮换对称的.所以我们可以继续设$z=D,y=u+v,x=uv$,得到$48-32 x+40 x^2-8 x^3-x^4-32 y+16 x y-8 x^2 y+4 x^3 y-32 x y^2+16 y^3+8 x y^3-4 y^4+z^2=0$
这下子好了,给定$y$,方程都是一个椭圆曲线.
1)尝试找一下,看有哪些$y$,使得存在一个可以变换到椭圆曲线的Weierstrass形式的双有理变换. 用Maple跑一下,发现需要解$q^2 = 4 (y^2 - 2 y - 6) (2 - 2 y + y^2)$,继续设$p=(y-1)^2$,也就是解$4(p-7)(p+1)=q^2$到有理数解.这个容易得到参数解,$(y-1)^2=\frac{s}{2}+\frac{8}{s}+3,q=\frac{16}{s}-s$,也就是说,只要解$(y-1)^2=\frac{s}{2}+\frac{8}{s}+3$的有理解.,继续设 $Y=4s(y-1), X=2s+4$,得到椭圆曲线$Y^2=X^3+16 X-128$,而这个曲线是一个秩为0,扰点为(4,0)和无穷远点. 没有其他有理数解, 这就尴尬了. 看来这条路走不下去.
问题的症结还是回到了 之前绕不过去的地方, 就是 对于一个 无法转化成Weierstrass形式的四次的 椭圆曲线,该如何求解.
通过待定系数反复调整,降低系数的复杂性,发现 可以设$z=D,u v = 4 x + 2,u + v = b y + 2 $,得到$-512 x^3-256 x^4+256 b x^2 y+256 b x^3 y+32 b^2 y^2+64 b^2 x y^2+32 b^3 x y^3-4 b^4 y^4+z^2=0$
然后给定有理数$x$,只要满足$x^2+2x =p^2$关系, 就能将该四次曲线 转化成椭圆曲线 的Weierstrass形式:
\[
\begin{align}
Y^3 + \frac{64}{3} b^4 (12 x^4-4 x^2-4 x-1) Y - \frac{1024}{27} b^6 (216 x^6+576 x^5+396 x^4+100 x^3-12 x^2-6 x-1) + Z^2
\end{align}\]
变换公式是
\
\
逆变换公式是
\
\
-------
而方程$x^2+2x =p^2$的有理数解是 $x=\frac{(s-1)^2}{2 s}, p =\frac{s^2-1}{2 s}$, 代入$(9)$即可. 为了使得 椭圆曲线求出的解尽可能的小,我们需要选择合适的参数$b,s$
我们取 $s=2$,那么$x=\frac{1}{4},p=\frac{3}{4}$,代入得到方程是$-18 b^6-47 b^4 Y+Y^3+Z^2=0$,所以我们可以继续取 $b=1$,得到一个曲线$Y^3-47 Y+Z^2-18=0$.
该曲线的秩为2, https://beta.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/203272/b/1
利用Maple软件容易得到：
\((-u^4 + 4u^3 + 8u - 4)v^4 + (4u^4 - 8u^3 + 16u^2 - 48u + 16)v^3 + (16u^3 - 48u^2 + 64u)v^2 + (8u^4 - 48u^3 + 64u^2 - 32u - 32)v - 4u^4 + 16u^3 + D^2 - 32u + 48=0\)
Weierstrass标准式：
V^3 + (1280/3*u^6 - 1280*u^5 + 6784/3*u^4 - 2560*u^3 + 5120/3*u^2 + 16*u^8 - 128*u^7 - 1024*u + 256)*V + 8192 - (114688*u)/3 + (212992*u^2)/3 + (257024*u^9)/27 - (40448*u^8)/3 + (106496*u^7)/9 - (212992*u^5)/9 + (161792*u^4)/3 - (2056192*u^3)/27 - 128*u^12 + (3584*u^11)/3 - (13312*u^10)/3 + Y^2=0,
有理变换：
V=2*(12*u^4*v + 8*u^3*v^2 - 12*u^4 - 72*u^3*v - 24*u^2*v^2 + 48*u^3 + 96*u^2*v + 32*u*v^2 - 3*D*p - 48*u*v - 96*u - 48*v + 144)/(3*v^2),
Y=4*(p*u^4*v^3 - 2*p*u^3*v^3 + 2*D*u^4*v + 6*p*u^4*v + 8*p*u^3*v^2 + 4*p*u^2*v^3 - 4*D*u^4 - 12*D*u^3*v - 4*p*u^4 - 36*p*u^3*v - 24*p*u^2*v^2 - 12*p*u*v^3 + 16*D*u^3 + 16*D*u^2*v + 16*p*u^3 + 48*p*u^2*v + 32*p*u*v^2 + 4*p*v^3 - 8*D*u*v - 24*p*u*v - 32*D*u - 8*D*v - 32*p*u - 24*p*v + 48*D + 48*p)/v^3,
v=(288*u^8 - 1344*u^7 + 5760*u^5 - 13056*u^4 + 26880*u^3 - 43008*u^2 + 44544*u - 13824 + (-72*u^4 + 432*u^3 - 576*u^2 + 288*u + 288)*V + 18*p*Y)/(-9*V^2 + (96*u^3 - 288*u^2 + 384*u)*V + 144*u^8 - 1152*u^7 + 2048*u^6 + 1536*u^5 - 5504*u^4 + 10752*u^3 - 13312*u^2 + 18432*u - 6912),
y=(20736*p*u^16 - 110592*p*u^15 - 552960*p*u^14 + 6524928*p*u^13 - 26206208*p*u^12 + 66748416*p*u^11 - 138838016*p*u^10 + 242270208*p*u^9 - 343105536*p*u^8 + 363921408*p*u^7 - 276758528*p*u^6 + 90636288*p*u^5 + 78905344*u^4*p - 113246208*u^3*p + 49545216*u*p - 15925248*p + (-41472*p*u^12 + 373248*p*u^11 - 1285632*p*u^10 + 2328576*p*u^9 - 1714176*p*u^8 - 2912256*p*u^7 + 12496896*p*u^6 - 23592960*p*u^5 + 31629312*p*u^4 - 33447936*p*u^3 + 27205632*p*u^2 - 13271040*p*u + 2654208*p)*V + (7776*p*u^8 - 62208*p*u^7 + 158976*p*u^6 - 269568*p*u^5 + 400896*p*u^4 - 331776*p*u^3 + 55296*p*u^2 + 248832*p*u - 124416*p)*V^2 + (864*p*u^3 - 2592*p*u^2 + 3456*p*u)*V^3 + 81*p*V^4 + (10368*u^12 - 117504*u^11 + 516096*u^10 - 981504*u^9 + 446976*u^8 + 866304*u^7 - 1253376*u^6 - 2469888*u^5 + 9345024*u^4 - 16330752*u^3 + 15630336*u^2 - 8626176*u + 1990656)*Y + (-5184*u^8 + 24192*u^7 - 103680*u^5 + 235008*u^4 - 483840*u^3 + 774144*u^2 - 801792*u + 248832)*V*Y + (648*u^4 - 3888*u^3 + 5184*u^2 - 2592*u - 2592)*V^2*Y)/(20736*u^16 - 331776*u^15 + 1916928*u^14 - 4276224*u^13 - 929792*u^12 + 22069248*u^11 - 48791552*u^10 + 63111168*u^9 - 35659776*u^8 - 67829760*u^7 + 290455552*u^6 - 510394368*u^5 + 649658368*u^4 - 639369216*u^3 + 523763712*u^2 - 254803968*u + 47775744 + (27648*u^11 - 304128*u^10 + 1167360*u^9 - 1769472*u^8 - 368640*u^7 + 6414336*u^6 - 12976128*u^5 + 19464192*u^4 - 22167552*u^3 + 18137088*u^2 - 5308416*u)*V + (-2592*u^8 + 20736*u^7 - 27648*u^6 - 82944*u^5 + 255744*u^4 - 414720*u^3 + 387072*u^2 - 331776*u + 124416)*V^2 + (-1728*u^3 + 5184*u^2 - 6912*u)*V^3 + 81*V^4)
其中p满足： \(p^2=4u^4-16u^3+32u-48\) (这个有理解如何得到？）
没有一个趁手的好工具,目前来看,网上最好的工具 还是magma, 光一个椭圆曲线的数据库压缩包就有 1GB,https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/download/db/
根据lmfdb网站, https://beta.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/203272/b/1, 可以玩椭圆曲线的工具有四个:
1) Magma ,目前来看,最强大,数据库也大, 但是闭源的.
2) PariGP
3) SageMath
4) Oscar ,是一个julia包,底层基于 FLINT, GAP, polymake, Singular
以这个曲线$y^2=x^3-47x+18$为例,拿到所有的整数点,只有magma 和 SageMath 提供了函数, 而PariGP 需要借用 ellratpoints(E,100000) ,并且是限高搜索.
PARI/Gp有个hyperellratpoints 函数挺不错的, 傻瓜式的返回一个超椭圆曲线指定高度的的有理解.
$u=-\frac{5}{8}$试手,解得的v如下
f(u,v)=u^4*v^4 - 4*u^4*v^3 - 4*u^3*v^4 + 8*u^3*v^3 - 8*u^4*v - 16*u^3*v^2 - 16*u^2*v^3 - 8*u*v^4 + 4*u^4 + 48*u^3*v + 48*u^2*v^2 + 48*u*v^3 + 4*v^4 - 16*u^3 - 64*u^2*v - 64*u*v^2 - 16*v^3 + 32*u*v + 32*u + 32*v - 48;
hyperellratpoints(f(-5/8,x),10000000)
%4 = [[-1617/200, 708019737/2560000], [-1617/200, -708019737/2560000], [-477/692, 64335705/30647296], [-477/692, -64335705/30647296], , , [-34272/4885, 164968598721/763623200], [-34272/4885, -164968598721/763623200], , , , , [-124529/68084, 7518853086255/296667587584], [-124529/68084, -7518853086255/296667587584], [-176752/157345, 9325236881511/792238368800], [-176752/157345, -9325236881511/792238368800], , , , , [-3589408/3049765, 3795691506791841/297634129767200], [-3589408/3049765, -3795691506791841/297634129767200]]
代入,得到了8个解，
{2682440,18796760,15365639,20615673}
{260052385,582665296,186668000,589845921}
{275156240,630662624,219076465,638523249}
{2448718655,664793200,3134081336,3393603777}
{2480452675600,4987588419655,502038853976,5062297699257}
{3579087147375440,14890026433468471,18565945114216720,20249506709579721}
{8813425670440240,47886740272114976,56827813308111785,62940516903410601}
{46196947347028916440,107238802094189542120,38751631463616255521,108593344076382641697}
$u=-\frac{9}{20}$,解得的v如下
? hyperellratpoints(f(-9/20,x),10000000)
%8 = [, , , , [-1041/320, 2126704839/40960000], [-1041/320, -2126704839/40960000], [-1425/412, 3894577617/67897600], [-1425/412, -3894577617/67897600], [-4209/3500, 6507898503/700000000], [-4209/3500, -6507898503/700000000], , , , , [-41952/33865, 2280363347913/229367645000], [-41952/33865, -2280363347913/229367645000]]
得到了6个解，
{95800,414560,217519,422481}
{673865,2767624,1390400,2813001}
{632671960,1670617271,50237800,1679142729}
{5821981400,15355831360,140976551,15434547801}
{7592431981391,22495595284040,27239791692640,29999857938609}
{130064300991400,440804942580160,514818101299289,573646321871961}
$u=-\frac{29}{12}$,解得的v如下
? hyperellratpoints(f(-(29/12),x),10000000)
%9 = [, , , , [-30768/57253, 1190554344625/33715604664], [-30768/57253, -1190554344625/33715604664], [-3333/107368, 27781785391625/1660015789056], [-3333/107368, -27781785391625/1660015789056]]
对应3个解
{8332208, 5507880, 1705575, 8707481}
{125777308440, 894416022327, 2032977944240, 2051764828361}
{27546142170735, 7908038161032, 43940127884360, 45556888578449}
功夫不负有心人，我捡到好几个漏了，排行榜排位发生变化。原来的第91名和第93名被两个更小的答案挤掉了,应该是
{123188180833923372056627153, 118194421251475239056505903, 66491673395168374249746120, 62831773759131557571594880}
对应的(u,v,w)是$ (-12065/12396, -84558637/193874100, 21792/5035)$
{174088703841632292189275073, 170289556324371670328363560, 92419682545114696981174360, 46402888024739111034420161}
对应的(u,v,w)是 $(-136/133, -63528125/85096232, 23685689/3885556)$
。
其他新答案如下：
{123188180833923372056627153, 118194421251475239056505903, 66491673395168374249746120, 62831773759131557571594880}
{174088703841632292189275073, 170289556324371670328363560, 92419682545114696981174360, 46402888024739111034420161}
{504068891841730072306483681, 435117527990435060232042280, 411177854471028470696556192, 106958136069417067994530335}
{918310142223097801006397529, 889106559932545369165762471, 535607712470322407570378200, 250530677254015598463660440}
{1447760188128589806063912993, 1312026469210482429462939440, 1087682246112509824947055976, 417484587979578624273415135}
{3677215554888336428049606273, 3368564311979655025855012600, 2320714811284022366485718240, 2237780791013852505780494977}
{5627688864176878140758748009, 5585259068218868809780112240, 2333861078054615396464078960, 700306884975436628944196759}
{10018903766533510889057062601, 9667333776938051160393251960, 6052043593595878314368914743, 168645743122342622620098480}
{12629217765947417896034599809, 12228221407419874341992355560, 7328739297665501682037024184, 3739210609433203972994481025}
{16013927795894026959663168953, 13664102621078861306004840840, 13258851160243699422011467335, 552797283800610952652413328}
{31117794612098148260469657593, 27393584701634528092690803705, 24738316179435439698109667120, 808590818355102638853673176}
{133490320060360914535848328209, 119298860162529095599542795640, 103549547575488612225699187040, 10521526640620348981446408209}
{175968975906723433958996724209, 163272917896204873786050444815, 123781164812377477678355882712, 60534442433151314096924049480}
{245878569117573833167406061393, 221725734480997509909988175768, 182603232896217072374572339025, 105992175134428412918623707160}
{444997840250072084560273090857, 412381504908379528321286079785, 315781014866997985099251407224, 136742510896974060556436491360}
{601546336586676758217069747353, 507376500694215143603840904000, 504285647197281669856795386728, 6571990083263349384871692135}
{860433206740544424461178566577, 845916519446670855349916469440, 426695309330591314699902838264, 232356172746879400195244503985}
{2677724555233904033024321940201, 2650599803386595785432318503160, 1187505796585909023692004388960, 501284627341500145592546539799}
{8229646208430186915167706621881, 7918174790330642885254291363640, 5060779866902849712056608508592, 425728077239657769125737790535}
{8653092317071774719310202489073, 8099532884728944729940462847464, 6001671979737012735726619523855, 1516716120293429599551302835760}
{10830828827804801622456578003121, 10707756967155140530274037773135, 4979640258082663479364236259240, 246940186636356727683332717504}
{12137566662146665711886365252737, 10460832656100181686547108582112, 9872001147462059766910335739775, 3898022937032042181537566499160}
{77214586804364169308050947074361, 76668894313793210460603803478440, 31176096882978693586981687856264, 14921528807524384363774241268025}
{1098951104967340650758908677898497, 938322348395206180783921371381503, 837343681998415354786117892702000, 661717340341387736183451188650240}
{1166771203657741610801659018209393, 1145400860459371360702253709703768, 602860664444767185991355248844720, 43015381264158179520049525808015}
{3762098874072146335431610024521161, 3544724218928041607923371624299240, 2511945393847796136912099490227552, 1272617115110814812810988604290615}
{3991096389697638324039142815248313, 3619759640991069943317745685641720, 2798227399699632035038808311974841, 2133999097873523205616379862269920}
{27234039469010571287750749472806593, 25097616096502142214946285532508824, 19788748762317394956388167436667840, 685489169050827570208239564001985}
{140537630371183160245850568603894617, 123349662390916854001862509235330905, 112214442819394909948440677165601840, 13593048082866832685243215228608456}
{575814109241966259438071103769180457, 568495181674030634997227526296268240, 268742894833497872412755452524709832, 127884971884543172835628915182179625}
{830656188985023870948584779728249417, 716161782031675610165431528427020400, 679368538882959228476067055088860745, 58032618743000072263285011580324856}
{1701149366116763201315972094656489529, 1505798350865774387042674647101996096, 1340939407906109772768541246995561415, 125408329526832811338657001571718760}
{10299384611211248340376023286842835433, 10031362083685034676043313839954861545, 5251921176120295799149380679888209944, 4372583605557734074973725524282199920}
{10373358865070540657105617744371110617, 10036370941197170791465088824362503544, 5916310526039507031961165533723980720, 3796307295487803837472619636479447335}
{67434082137309994555247453811022197057, 58825777559993370245474213094921674240, 54256586296486494216437458509656437057, 13938951315456976978513685926934640560}
{242538180175270610853290853090287229769, 236937233673417726067275845959333925705, 122707666757292152245213732016236276920, 95165392799313961110399476887579379208}
{806138838545758367937672064817957800737, 726447315918756597554941566956138194616, 604700759189277502518379225699911213440, 317124731692923422812335044519683520735}
{1871719083282687906202560764473598495521, 1747706727327181776430166707334029969185, 1102486892305607002168440071204344088928, 1100377611684590854488735787299681397720}
{3395929891485334592370746651336421162321, 3360388888883721642901019519945403343304, 1475840549437269376782395216972838074000, 926430612195290681941470814843189475665}
{15972961180516771719532723631898149809961, 15451300536692003301752989081291359395640, 8057625913255747468244742036175871587760, 7892758983116882563694252553878845426473}
{19934350711896960649365583332561489559721, 19537629354156506960751018658172933774505, 10240767198398148770624283487986683810904, 5887827370046553813670911877907196495680}
{34363901684184698539080985638973937196873, 31297237528652492191374671448716327803760, 25637787666341642063737209582545890147145, 7388644063119524070799636844138879027864}
{45844192201888470314405213353949226832897, 42785823428040041234161501258166782422015, 32113076851593729899259358463785814766496, 7021521131014292996997517970292353757120}
{86005230383956921385792579690168474216577, 82860902927671527147578479599418011711736, 52456251116927883513093749646292242340735, 6240825928464181630956269883794822302960}
{370178787342908519545804626629109524196313, 342926094771396607922211737347247063070216, 261289014778029757306114612499727621175335, 130207738461126188904986843727436181309360}
{459300900508807447879376165305627118309057, 452679652603063022497164751569715401046335, 223855569708056236637936238204314784983432, 17926415451798202836937173484154386635240}
{500796050001427880070678938556915333014849, 474852175855673033084619074909651063938040, 330354100428652215769025528607019680881985, 109825562277571613049068495579199043286232}
{977460797198232920093887556716932292060753, 973433274958851473729632905204552594628320, 334229339844264464206041083686350217717329, 223010558671964311114051804654219491905440}
{1470695115188634600420193135982485445470881, 1467627323920247878783602785437560274771295, 443184584373500545468832476446952876225256, 135298029890536514615749627509396118115320}
{5082559754777633036582163979494292876893337, 4492209740965145731782789443715553202358584, 4013477702776553653893950470981211910469785, 885745318409953247534849392851560923632720}
{6143539032661373070735769580379563143044881, 5852230257834881029367629460392322577618705, 3593221165723286365451189689649125338450744, 3035234250371793173002501048943483041012760}
{6275137477254099552690315260094419636025849, 6006100538619513212890558195061841980522200, 3771284895110544283874170485413841936716840, 2618535932270839713747743806066980040134151}
{9114172774086281066413676070790614410779473, 8944672405792029461839096353940380640553135, 4726479082843848686237115074773144463194664, 579120214506563635174419598136966085554560}
{11827000417138776237238567751611797835894529, 11703497880395831612988069202805744430635528, 5304881704326318326137500214801627488843720, 1883580279065188183577494265944805898270975}
{12559995101780464868351574860663895593652089, 11564020060970766874354364810293518612242880, 8550192913944418222929749083159204355797880, 6381982797350999465695854651454845891400839}
{16930431869968555250050230333369291823325721, 16722151415210738551512069214227404055910240, 7556939299858548120883368285232293844669904, 5158024399779229722215011965963364160970215}
{33373562681668093445861955364547455104962057, 32649064673153450829436315208092610082433545, 17640967117458259135734133923460933978454640, 9280222253003957569623319645389600144384376}
{34238025288322679405354616563477029005724489, 30065183349599749353652252170416471089881752, 27019982440646405002224149701865168556376905, 12456165604980448961708437936308199693721880}
{1134284386346724151363651000320391991301733417, 1032609803380513184909795531534698477102396856, 848327426869312864774603097398961498872787760, 147487711831232703392729490663904776597182505}
{1485319978088610874772587015727151055020211473, 1286574740535738707167440773242497789045153680, 1201664975215670323433872762392001485297819152, 453089166851196484578476500609393843402652945}
{1545876932044961499994504420017547380040919673, 1497715832818468945880745540824932809695125760, 867479830643708710233050296693323999236618960, 579548962635019950126280259669775577793320327}
{2111194167978422288220921255365867051196794393, 2089717145764499016944579167741933418625835545, 794746331186817432094227002787045298634324480, 793869142619513622281841596664558491280370776}
{2374902405268544156003955493525772232090590553, 2364179084161218516599144160529002560832423920, 838951429158856278829815610575389260158180697, 523803017372010966009313491168271066116491920}
{3811844410730149410687121517968558056866543897, 3762736287177600681424722023412611629632252647, 1785749307339601641041230194085043539067310960, 841825955601636887278486971756260420166660840}
{4359453760016731480341559048760092353445158393, 3755677900085395394517147290349149195700019240, 3549239935664878385299887730614787797397708760, 1371914780945160657480571387727362688956590599}
{47495446719420628851882981590552211302229878697, 40201850014156946145960402821235256903275744640, 39491889176636414193004404950719346759851424855, 14504924792674282059881740229589583428350105896}
{50850387717526082374854170580381669126913882753, 47994627294635220655319628420215891231758648520, 34275156842649042025698564180116719276001302128, 1196165497178991078511743748654292211747408255}
{61773983416363337070401598227333909934876779377, 56541966500458363000561559181800928586654852239, 45640359472895282187354073055003880273698544760, 6857076456214041801253822623630409875859862280}
{69751243118562330823889798476000284455547179409, 68153172183689262267448592863699209952421875040, 35066778012681271091786396663864666683979135240, 27640993066460423875775176412252797556736340591}
{165863826757829334016288350445306547111729869953, 156960145284219259407960968722441510786198304720, 110647433399478938169758487559272230733321962696, 4999255307566191240836242234455714209054519425}
{235330445700501159858787905821316726845325706593, 201250975205387708645126290259718166098130747745, 191722654928290095680347390901095351758768308824, 93203774317958905875123208651612222143956320960}
{429743683696497862908946921973872134110241764097, 387601083793902125736364769834148333834225686528, 327681172232494969258587163020444460111450229360, 50975076867131678259567605351981276102818401535}
{763660316535847336100572602521466005340135157281, 752932548477756505439823728841382425781846753040, 353206228650528968498081979906555913216071735760, 236864725299048270364761586920409130549561496031}
{867080795573415261846041568022401507120424349873, 738646873410735401580081582729428786424654440625, 718786885148112455723179058063160994689574385752, 158839500159704960415730696880379641913325282440}
...省略100个...
更多数据放在这里，https://nestwhile.com/res/a4b4c4d4/ 里的abcd-new.txt 文件
持续更新中，。。。敬请关注。