mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...
根据RootReduce]
得到
8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1 在 x = 0.900969 附近的根≈0.900969
这个就是你上面的多项式。
这个问题归根结底，似乎都要从包含a b c的代数数域来解决。
或者是包含1 b/a c/a的代数数域来解决！
mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...
取模的多项式，
必须是8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1吗？
别的三次多项式可以吗？
nyy 发表于 2025-7-28 18:04
取模的多项式，
必须是8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1吗？
别的三次多项式可以吗？
有没有人试一试，用x^3做左右多项式的模？
我觉得应该也行！
nyy 发表于 2025-7-28 10:37
函数的帮助
AlgebraicNumber[\,{Subscript,Subscript,\,Subscript}]
r ...
似乎只能用等于零的多项式
PolynomialMod[(1+2x+8x^3-4x)^7,8x^3-4x^2-4x+1]
得到
80864 x^2 + 32424 x - 11219
我彻底理解了这个问题，
这题本质上就是一个数域的问题！
fibonacci(10^14)% 1234567891011是多少?
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4054
(出处: 数学研发论坛)
这个题目也是数域上的问题！
mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...
mathe的办法，转化成数域的办法
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
{a,b,c}=Sin[#*Pi/7]&/@{1,2,4} (*正弦定理得到三边,只要成比例就可以了*)
{a1,b1,c1}={a,b,c}/a (*三边都除以a,相对值,成比例就可以了*)
x=Cos(*以这个数为数域,以它为基,求出向量*)
(*等式两边同时对相同的数x,取数域,用基来表达*)
abc7=ToNumberField[(a1+b1+c1)^7,x]
a7={1,{1,0,0}}(*很明显是{1,0,0}*)
b7=ToNumberField
c7=ToNumberField
(*对基向量列方程组,然后解方程组*)
aa=Solve]==k1*a7[]+k2*b7[]+k3*c7[],{k1,k2,k3}]
求解结果abc7
AlgebraicNumber, {-11219, 16212, 20216}]
a7
{1,0,0}
b7
AlgebraicNumber, {-9, 14, 14}]
c7
AlgebraicNumber, {-39, 56, 70}]
方程组求解结果
{{k1 -> 61, k2 -> 14, k3 -> 286}}
mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
rule={Sin->Sqrt,Cos->x}(*替换规则*)
(*三边都弄成成x的变量,其实x=cos(180/7),不是变量,是一个符号*)
a1=TrigExpand/(Sin)]/.rule
b1=TrigExpand/(Sin)]/.rule
c1=TrigExpand/(Sin)]/.rule
x1=Cos
xx=1-4x-4x^2+8x^3 (*RootReduce很容易得到结果,这是关于cos(180/7)的最小多项式*)
(*四个变量关于多项式求余数*)
abc7=PolynomialMod[(a1+b1+c1)^7,xx]
a7=PolynomialMod
b7=PolynomialMod
c7=PolynomialMod
(*获得多项式的系数向量*)
f=CoefficientList
(*让每一个多项式的系数等于零,求解出方程组的解*)
ans=Solve
mathe的办法，给出一个mathematica的代码，方便别人验证过程与结果。
求解结果就不粘贴出来了，在软件里很容易得到结果！