正七边形，求三个整数的和

nyy

fibonacci(10^14)  % 1234567891011是多少?
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4054
(出处: 数学研发论坛)

这个题目也是数域上的问题！

nyy

mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...

mathe的办法，转化成数域的办法

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. {a,b,c}=Sin[#*Pi/7]&/@{1,2,4} (*正弦定理得到三边,只要成比例就可以了*)
   
3. {a1,b1,c1}={a,b,c}/a (*三边都除以a,相对值,成比例就可以了*)
   
4. x=Cos[Pi/7](*以这个数为数域,以它为基,求出向量*)
   
5. (*等式两边同时对相同的数x,取数域,用基来表达*)
   
6. abc7=ToNumberField[(a1+b1+c1)^7,x]
   
7. a7={1,{1,0,0}}(*很明显是{1,0,0}*)
   
8. b7=ToNumberField[b1^7,x]
   
9. c7=ToNumberField[c1^7,x]
   
10. (*对基向量列方程组,然后解方程组*)
    
11. aa=Solve[abc7[[2]]==k1*a7[[2]]+k2*b7[[2]]+k3*c7[[2]],{k1,k2,k3}]
    

复制代码

求解结果abc7
AlgebraicNumber[Root[1 - 2 #1 - #1^2 + #1^3 &, 3], {-11219, 16212, 20216}]

a7
{1,0,0}

b7
AlgebraicNumber[Root[1 - 2 #1 - #1^2 + #1^3 &, 3], {-9, 14, 14}]

c7
AlgebraicNumber[Root[1 - 2 #1 - #1^2 + #1^3 &, 3], {-39, 56, 70}]

方程组求解结果
{{k1 -> 61, k2 -> 14, k3 -> 286}}

nyy

mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. rule={Sin[t]->Sqrt[1-x^2],Cos[t]->x}(*替换规则*)
   
3. (*三边都弄成成x的变量,其实x=cos(180/7),不是变量,是一个符号*)
   
4. a1=TrigExpand[Sin[1t]/(Sin[t])]/.rule
   
5. b1=TrigExpand[Sin[2t]/(Sin[t])]/.rule
   
6. c1=TrigExpand[Sin[4t]/(Sin[t])]/.rule
   
7. x1=Cos[Pi/7]
   
8. xx=1-4x-4x^2+8x^3 (*RootReduce[x1]很容易得到结果,这是关于cos(180/7)的最小多项式*)
   
9. (*四个变量关于多项式求余数*)
   
10. abc7=PolynomialMod[(a1+b1+c1)^7,xx]
    
11. a7=PolynomialMod[a1^7,xx]
    
12. b7=PolynomialMod[b1^7,xx]
    
13. c7=PolynomialMod[c1^7,xx]
    
14. (*获得多项式的系数向量*)
    
15. f=CoefficientList[abc7-k1*a7-k2*b7-k3*c7,x]
    
16. (*让每一个多项式的系数等于零,求解出方程组的解*)
    
17. ans=Solve[f==0,{k1,k2,k3}]
    

复制代码

mathe的办法，给出一个mathematica的代码，方便别人验证过程与结果。
求解结果就不粘贴出来了，在软件里很容易得到结果！