正七边形，求三个整数的和

nyy

由于abc都是三个正数，所以
(a+b+c)^7==k1*a^7+k2*b^7+k3*c^7>k1*a^7,从这个可以得到k1的范围，
然后依次得到k2 k3的范围，
然后三重循环穷举验证(a+b+c)^7==k1*a^7+k2*b^7+k3*c^7这个是否成立，如果相等，则输出结果。
这里有个隐含假设这三个k都是非负数。

nyy

在Mathematica中，处理代数数域相关的函数操作时，常借助 AlgebraicNumber 、 MinimalPolynomial 等函数。以下是几个转化或处理代数数域函数的例子：

1. 定义代数数并转化为代数数域元素

通过最小多项式定义代数数，将其表示为代数数域中的元素。
示例：定义√2（最小多项式为x²-2），并验证其属性：

(* 定义代数数√2，所在数域由x²-2生成 *)
a = AlgebraicNumber[x^2 - 2, {0, 1}]  (* 表示0 + 1·√2 *)

(* 验证其最小多项式 *)
MinimalPolynomial[a, x]  (* 输出：-2 + x² *)
 

2. 代数数域中的运算转化

对代数数域中的元素进行运算，并转化为该数域中的标准形式。
示例：在Q(√2)中计算(1+√2)⁻¹，并转化为a + b√2的形式：

a = AlgebraicNumber[x^2 - 2, {1, 1}]  (* 1 + √2 *)
inv = 1/a  (* 计算倒数 *)
Coefficients[inv]  (* 输出系数：{1, -1}，即1 - √2 *)
 

3. 将多项式根转化为代数数域元素

将多项式的根表示为特定代数数域中的元素。
示例：将x³ - 2的根表示为Q(∛2)中的元素：

(* 定义x³ - 2的根α=∛2 *)
α = AlgebraicNumber[x^3 - 2, {0, 1, 0}]  (* 表示0 + 1·∛2 + 0·(∛2)² *)

(* 验证α³ = 2 *)
α^3  (* 输出：2 *)
 

这些例子展示了如何在Mathematica中定义代数数域、转化元素形式及进行运算，核心是利用 AlgebraicNumber 函数将元素与数域（通过最小多项式定义）关联，并通过内置函数处理其代数属性。

nyy

mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...

根据
ToNumberField[Sin[2*Pi/7]/Sin[1*Pi/7],Cos[1*Pi/7]]
你的U1估计是x（估计是2x），

根据
ToNumberField[Sin[4*Pi/7]/Sin[1*Pi/7],Cos[1*Pi/7]]
你的U2估计是x*x-1(你的估计是4x*x-1)

王守恩

nyy 发表于 2025-7-28 10:04
求解结果
{{k1 -> 61, k2 -> 14, k3 -> 286}}

我已经很努力在学了！

Solve@Reduce[{(Sin[Pi/9] + Sin[2 Pi/9] + Sin[Pi/3])^3 == k1*Sin[Pi/9]^3 + k2*Sin[2 Pi/9]^3 + k3*Sin[Pi/3]^3}, {k1, k2, k3}, Integers]

{{k1 -> 5, k2 -> 6, k3 -> 7}}

nyy

mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...

根据RootReduce[Cos[1*Pi/7]]
得到
8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1 在 x = 0.900969 附近的根≈0.900969
这个就是你上面的多项式。

nyy

这个问题归根结底，似乎都要从包含a b c的代数数域来解决。
或者是包含1 b/a c/a的代数数域来解决！

nyy

mathe 发表于 2025-7-27 21:00
记\(x=\cos(\frac{\pi}7)\), 于是\(T_7(x)=-1\),得到\(M(x)=8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\)
由于\(a=\sin(\frac{ ...

取模的多项式，
必须是8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1吗？
别的三次多项式可以吗？

nyy

nyy 发表于 2025-7-28 18:04
取模的多项式，
必须是8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1吗？
别的三次多项式可以吗？

有没有人试一试，用x^3做左右多项式的模？
我觉得应该也行！

nyy

nyy 发表于 2025-7-28 10:37
函数的帮助
AlgebraicNumber[\[Theta],{Subscript[c, 0],Subscript[c, 1],\[Ellipsis],Subscript[c, n]}]
r ...

似乎只能用等于零的多项式
PolynomialMod[(1+2x+8x^3-4x)^7,8x^3-4x^2-4x+1]

得到
80864 x^2 + 32424 x - 11219

nyy

我彻底理解了这个问题，
这题本质上就是一个数域的问题！