巴拿赫火柴盒的一般性问题
一个人有两个火柴盒, 一开始火柴盒A里有 n 根火柴、火柴盒B里有m根, 之后每次随机选择一个火柴盒并从里面取 1 根火柴(A的概率为p、B的概率是1-p), 直到某次取火柴时发现那个待取的火柴盒已经空了, 求此时另一个火柴盒里还剩 k 根火柴的概率?补充内容 (2025-9-4 19:28):
进一步求k的期望值 本帖最后由 sheng_jianguo 于 2025-9-14 10:40 编辑
此问题很有意思。
根据组合计算公式和概率基本公式,可以得出所求概率P(k)的计算公式(不妨假设$n>=m$):
$P(k)=\C_{(n -k)+(m-1)} ^{m-1}p^{n-k}(1-p)^m +C_{(m -k)+(n-1)} ^{n-1}p^{n}(1-p)^{m-k}$
其中:$\C_{N} ^M$ 为从N不同的数中选M个不同的数的组合数,当$ M>N$时,$ \C_{N} ^M =0$
所求k的期望值E(k)的计算公式:
$E(k)=1×P(1)+2×P(2)+...+n×P(n)$
简单例子:`n=3,m=2,p=\frac{1}{3},1-p=\frac{2}{3}`
$P(1)=\C_3 ^1 ×\(frac{1}{3})^2 × (frac{2}{3})^2 +C_3 ^2 ×\(frac{1}{3})^3 × (frac{2}{3})^1=frac{2}{9}$
$P(2)=\C_2 ^1 ×\(frac{1}{3})^1 × (frac{2}{3})^2 +C_2 ^2 ×\(frac{1}{3})^3 × (frac{2}{3})^0=frac{3}{9}$
$P(3)=\C_1^1 ×\(frac{1}{3})^0 × (frac{2}{3})^2 +C_1^2 ×\(frac{1}{3})^3 × (frac{2}{3})^-1=frac{4}{9}$
$E(k)=1×frac{2}{9}+2×frac{3}{9}+3×frac{4}{9}=frac{20}{9}=2.222...$
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