巴拿赫火柴盒的一般性问题

pizza49

一个人有两个火柴盒, 一开始火柴盒A里有 n 根火柴、火柴盒B里有m根, 之后每次随机选择一个火柴盒并从里面取 1 根火柴（A的概率为p、B的概率是1-p）, 直到某次取火柴时发现那个待取的火柴盒已经空了, 求此时另一个火柴盒里还剩 k 根火柴的概率?

补充内容 (2025-9-4 19:28):
进一步求k的期望值

sheng_jianguo

此问题很有意思。
根据组合计算公式和概率基本公式，可以得出所求概率P(k)的计算公式（不妨假设$n>=m$）：
$P(k)=\C_{(n -k)+(m-1)} ^{  m-1}  p^{n-k}  (1-p)^m +C_{(m -k)+(n-1)} ^{  n-1}  p^{n}  (1-p)^{m-k}$
其中：$\C_{Ｎ} ^Ｍ$   为从N不同的数中选M个不同的数的组合数，当$ M＞N$时，$ \C_{Ｎ} ^Ｍ =0$
所求k的期望值E(k)的计算公式：
$E(k)=1×P(1)+2×P(2)+...+n×P(n)$
简单例子：`n=3,m=2,p=\frac{1}{3},1-p=\frac{2}{3}`
$P(1)=\C_3 ^1 ×\（frac{1}{3}）^2 × （frac{2}{3}）^2 +C_3 ^2 ×\（frac{1}{3}）^3 × （frac{2}{3}）^1=frac{2}{9}$
$P(2)=\C_2 ^1 ×\（frac{1}{3}）^1 × （frac{2}{3}）^2 +C_2 ^2 ×\（frac{1}{3}）^3 × （frac{2}{3}）^0=frac{3}{9}$
$P(3)=\C_1^1 ×\（frac{1}{3}）^0 × （frac{2}{3}）^2 +C_1^2 ×\（frac{1}{3}）^3 × （frac{2}{3}）^-1=frac{4}{9}$
$E(k)=1×frac{2}{9}+2×frac{3}{9}+3×frac{4}{9}=frac{20}{9}=2.222...$