这是“雷劈数”吗?——这是“雷劈数”！——“雷劈”——不会改变前后顺序。"数"——高位不能是"0"。——OEIS应该有这两串数。可惜没有！
100=(10-0)^2=10^2,
121=(12-1)^2=11^2,
1656369=(1656-369)^2=1287^2,
1860496=(1860-496)^2=1364^2,
123121216=(12312-1216)^2=11096^2
13967221489=(139672-21489)^2=118183^2
178659044956=(1786590-449956)^2=1336634^2
161983503471076=(16198350-3471076)^2=12727274^2
15259515629065744=(152595156-29065744)^2=123529412^2
1205042682107298321=(1205042682-107298321)^2=1097744361^2
1256370006135490884=(1256370006-135490884)^2=1120879122^2
1299640762159622884=(1299640762-159622884)^2=1140017878^2
{10, 11, 1287, 1364, 11096, 118183, 1336634, 12727274, 123529412, 1097744361, 1120879122, 1140017878, 1165991904, 1237762239, 1288553552, 1307692308, 1333666334, 1405436669, 1428571430, 1447710186, 1454545455,
Sort@Flatten@Table[(a - b) /. Solve[{10^k a + b == (a - b)^2, a > 10^k > b ≥ 10^(k - 1)}, {a, b}, Integers], {k, 9}]
81=(8+1)^2=9^2,
100=(10+0)^2=10^2,
2025=(20+25)^2=45^2,
3025=(30+25)^2=55^2,
88209=(88+209)^2=297^2,
404209=(404+209)^2=703^2,
4941729=(494+1729)^2=2223^2,
7441984=(744+1984)^2=2728^2,
24502500=(2450+2500)^2=4950^2,
25502500=(2550+2500)^2=5050^2,
52881984=(5288+1984)^2=7272^2,
60481729=(6048+1729)^2=7777^2,
{9, 10, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 17344, 22222, 77778, 82656, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687,
Sort@Flatten@Table[(a + b) /. Solve[{10^k a + b == (a + b)^2, a > 0, b ≥ 10^(k - 1)}, {a, b},Integers], {k, 6}] 继续学习！——这是不错的数字串！——高位不能是"0"——也就是把平凡解去掉！
100=(10-0)^2=10^2
121=(12-1)^2=11^2
82369=(82-369)^2=287^2
132496=(132-496)^2=364^2
1201216=(120-1216)^2=1096^2
1656369=(1656-369)^2=1287^2
1860496=(1860-496)^2=1364^2
123121216=(12312-1216)^2=11096^2
330621489=(3306-21489)^2=18183^2
13967221489=(139672-21489)^2=118183^2
113322449956=(113322-449956)^2=336634^2
1786590449956=(1786590-449956)^2=1336634^2
7438023471076=(743802-3471076)^2=2727274^2
161983503471076=(16198350-3471076)^2=12727274^2
36629219505049=(366292-19505049)^2=19138757^2
553633229065744=(5536332-29065744)^2=23529412^2
67465026648676=(674650-26648676)^2=25974026^2
9553960107298321=(9553960-107298321)^2=97744361^2
14611762135490884=(14611762-135490884)^2=120879122^2
15259515629065744=(152595156-29065744)^2=123529412^2
19605006159622884=(19605006-159622884)^2=140017878^2
{10,11,287,364,1096,1287,1364,11096,18183,118183,336634,1336634,2727274,12727274,19138757,23529412,25974026,97744361,120879122,123529412,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,405436669,428571430,440553516,447710186,454545455,473684212,526315790,545454547,552289816,571428572,594563333,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,1447710186,1454545455,1473684212,1503588109,1526315790,1539644505,1545454547,1552289816,1571428572,1594563333,1980198021,11539644505,11980198021,18690447106,20194035214,26086956523,27590544631,36496350366,44777403628,46280991736,53719008266,55222596374,118690447106,120194035214,126086956523,127590544631,144777403628,146280991736,153719008266,155222596374,333366663334,369863013699,1333366663334,1369863013699,1875222495866,240
这通项公式不好找。——只能来个代码。
A = Flatten@Table, {k, 9}];
B = Flatten@Table, {k, 9}]; R = Union;
Print["代码A的结果：", A]Print["代码B的结果：", B]Print["合并R的结果：", R]
Print["代码A长度：", Length, "代码B长度：", Length, "合并R长度：", Length]
代码A的结果:{11,c,1287,1364,11096,118183,1336634,12727274,123529412,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,1447710186,1454545455,1473684212}
代码B的结果:{c,c,78,287,364,1096,18183,336634,2727274,23529412,19138757,25974026,97744361,120879122,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,405436669,428571430,447710186,454545455,473684212}
合并R的结果:{11,78,287,364,1096,1287,1364,11096,18183,118183,336634,1336634,2727274,12727274,19138757,23529412,25974026,97744361,120879122,123529412,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,
405436669,428571430,447710186,454545455,473684212,526315790,545454547,552289816,571428572,594563333,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,c}
求助。结果里面混杂了c——我不知道怎么删除。前面几项有问题——需要调整。代码B=A118938。A228381——里面的公式运行太慢了。 雷劈数——A006886——Kaprekar numbers: positive numbers n such that n = q+r and n^2 = q*10^m+r, for some m >= 1, q >= 0 and 0 <= r < 10^m, with n != 10^a, a >= 1.
{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313,
461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, 4444444, 4927941, 5072059, 5479453, 5555556,
8161912, 9372385, 9999999, 11111112, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 55636659, 61116111,
63636364, 69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977, 83409436, 86358636, 88888888, 91838088, 94520547, 99999999, 234567901, 332999667, 432432432, 567567568, 667000333, 765432099, 999999999}
公式A——kaprQ[\_] := Module[{n = \^2},MemberQ, 10^j*FractionalPart}, {j,IntegerLength@n - 1}], #[] != 0 &], \]];Select
公式B——Sort@Flatten@Table, {k, 9}]
公式C——Sort@Flatten@Table, {k, 9}]
公式A是A006886自带的公式。公式B比公式A快多了。注意公式B与公式C的区别。公式C是下面数字串的通项公式。
{9, 10, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 17344, 22222, 77778, 82656, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687,
643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 4444444, 4927941, 5072059, 5555556, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548,
49995000, 50005000,55474452, 55636659, 61116111, 63636364,69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977,83409436, 86358636, 234567901, 332999667,432432432,567567568,667000333, 765432099,1776299581, 2020202020}
81=(8+1)^2=9^2,
100=(10+0)^2=10^2,
2025=(20+25)^2=45^2,
3025=(30+25)^2=55^2,
88209=(88+209)^2=297^2,
404209=(404+209)^2=703^2,
4941729=(494+1729)^2=2223^2,
7441984=(744+1984)^2=2728^2,
24502500=(2450+2500)^2=4950^2,
25502500=(2550+2500)^2=5050^2,
52881984=(5288+1984)^2=7272^2,
60481729=(6048+1729)^2=7777^2,
这也是挺好玩的！——高位不能是"0"——也就是把A006886中的平凡解去掉！——继续学习！——
{10,11,287,364,1096,1287,1364,11096,18183,118183,336634,1336634,2727274,12727274,19138757,23529412,25974026,97744361,120879122,123529412,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,405436669,428571430,440553516,447710186,454545455,473684212,526315790,545454547,552289816,571428572,594563333,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,1447710186,1454545455,1473684212,1503588109,1526315790,1539644505,1545454547,1552289816,1571428572,1594563333,1980198021,11539644505,11980198021,18690447106,20194035214,26086956523,27590544631,36496350366,44777403628,46280991736,53719008266,55222596374,118690447106,120194035214,126086956523,127590544631,144777403628,146280991736,153719008266,155222596374,333366663334,369863013699,1333366663334,1369863013699,1875222495866,240
12#的通项公式可以这样。
Print, {k, 9}], Flatten@Table, {k, 9}]]] northwolves 发表于 2025-11-19 15:53
A228103
Numbers k whose base-10 digits can be split into two parts, q and r, with k = (q-r)^2.
雷劈数——A006886——给出了前51514项——也就是50位数。
{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313,
461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, 4444444, 4927941, 5072059, 5479453, 5555556,
8161912, 9372385, 9999999, 11111112, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 55636659, 61116111,
63636364, 69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977, 83409436, 86358636, 88888888, 91838088, 94520547, 99999999, 234567901, 332999667, 432432432, 567567568, 667000333, 765432099, 999999999}
用我们的公式——Sort@Flatten@Table, {k, 9}]——容易些。譬如67位数——有15个。
Solve[{(c (c - 1))/(10^67 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]
{{a -> 567049959273271760203330052873814555049378239599793403251259060, c -> 75302719690146102996172402804835899263289556872373948869741374660},
{a -> 14468375159748488300619171935320813128368690398139319524815963628, c -> 380373174129676083557585257979278919372730019609791511616824268284},
{a -> 20764052020849386359030064673256942865620904121343007951599941694, c -> 455675893819822186553757660784114818636019576482165460486565642943},
{a -> 312068593039200019495631598151921961743439363956429963784731260880, c -> 1766546328402400035668464561438107403586202645740056761735656579280},
{a -> 460926335035257719811287200411218353154081180123482976621637808594, c -> 2146919502532076119226049819417386322958932665349848273352480847563},
{a -> 493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160494, c -> 2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223},
{a -> 677350279711209463708928669308827493343409192940762707403898354470, c -> 2602595396351898305779807480201501141594952241832013733839046490506},
{a -> 5472159487007412852149313708905825210153504709276735239725805373458, c -> 7397404603648101694220192519798498858405047758167986266160953509494},
{a -> 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716048, c -> 7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777},
{a -> 6167087329971105481359187561576445707236215849423786429916676113468, c -> 7853080497467923880773950180582613677041067334650151726647519152437},
{a -> 6778975936234399948158702475275707154571034072476316440313418102320, c -> 8233453671597599964331535438561892596413797354259943238264343420720},
{a -> 9109412264381205013251514743105027305593581751157012086978468655808, c -> 9544324106180177813446242339215885181363980423517834539513434357057},
{a -> 9253722026900396321185448655976762974382908651178556296291167427060, c -> 9619626825870323916442414742020721080627269980390208488383175731716},
{a -> 9849961610578981065767858524443202016028470264494851895663768509740, c -> 9924697280309853897003827597195164100736710443127626051130258625340},
{a -> 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998, c -> 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}}
提炼我们的公式——Flatten@Table], {k, 65}]
得到这样一串数。——{1, 3, 3, 7, 7, 31, 7, 31, 7, 31, 7, 127, 15, 31, 63, 127, 7, 255, 3, 255, 127, 127, 3, 1023, 63, 127, 31, 511, 63, 8191, 15, 4095, 63, 127, 255, 2047, 15, 15, 63, 4095, 31, 16383,
31, 2047, 511, 127, 7, 8191, 31, 2047, 255, 1023, 31, 4095, 511, 8191, 63, 511, 7, 1, 255, 63, 8191, 65535, 255,......}——我这里来不了了——为什么是这些数？什么规律？
请注意64位数就有65535个解——比51514还要大。——可惜我这里来不了了。求助！！！——又：k=60,只有1个解？！！
补充内容 (2025-11-27 17:19):
k=60,有1048575个解！！！ 王守恩 发表于 2025-11-24 08:25
雷劈数——A006886——给出了前51514项——也就是50位数。
{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 27 ...
A285273
Number of integers, x, with n+1 digits, that have the property that there exists an integer k, with x <= k < 2*x, such that k/x = 1 + (x-10^n)/(10^n-1), i.e., the same digits appear in the denominator and in the recurring decimal.
2, 4, 4, 8, 8, 32, 8, 32, 8, 32, 8, 128, 16, 32, 64, 128, 8, 256, 4, 256, 128, 128, 4, 1024, 64, 128, 32, 512, 64, 8192, 16, 4096, 64, 128, 256, 2048, 16, 16, 64, 4096, 32, 16384, 32, 2048, 512, 128, 8, 8192, 32, 2048, 256, 1024, 32, 4096, 512, 8192, 64, 512, 8
northwolves 发表于 2025-11-24 23:13
A285273
Number of integers, x, with n+1 digits, that have the property that there exists an intege ...
A285273——说明我们的方向没错！我们的公式还是快一些。
我就好奇——Solve[{(c (c - 1))/(10^149 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]——能出来下面的15个解。
我就好奇——Solve[{(c (c - 1))/(10^60 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]——就不行了？那里卡了？前(57,58,59)后(61,62,63)都行！
{{a -> 173403303844323591646598395103367834668408855430376430577729040840432754106253071257908905048137921102218624012654926150597741804864378303584037630,
c -> 4164172232801179318273926669119927695977059560253808548995168903462637832996193915391990857780098225640732532698074294009051017898497462110321801471},
{a -> 1736500371356354718649117650779404003721762386733904141902455322937774811003311425395642305346979111242387416504872044824274729953516776540710242640,
c -> 13177633973351797111483937400690616317363940596344526998837137049168686142401888986533869493045014336058515973831145198086158380158539941235475309136},
{a -> 3260931694204293277352013702655004908061320655811399791518147799795309766601771824910851239861921425755720214418449067084846672121581555637268175248,
c -> 18058049989421042903948295553102294526245162661968413673227053318759584389226028306830231364442123996581489689524147928213171204323724760111900420752},
{a -> 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938,
c -> 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222},
{a -> 9756679526222243903950541444347275186842059540586565168879145842713662640471769272248115776399251983106994468219903999081669430590729412821390697118,
c -> 31235683962772840015432232953792910843609103258312940672064190367928270531627917293364100857487138332640005663355293126299329584482264701347375729887},
{a -> 12531498186673202817580250322691282860821785367825298857435010060839906923675755913237855907194145976651110565368097071134172281628917244250304207194,
c -> 35399856195574019333706159622912838539586162818566749221059359271390908364624111208756091715267236558280738196053367420308380602380762163457697531358},
{a -> 21661664966847208818216450676718796590610614965926929061717565764207957862877725087508897158579752848383035041272164074220983904112144815663744500010,
c -> 46542093815004937762345544823984866934168674519464837105713587409849507246149860484413676920290639445137772114422484651478448193295513076430402047891},
{a -> 28577477336837333293525361028749062722273265926997254850290390944508943370578004118681543317998473958107490812427194771264087517521118662802940404228,
c -> 53457906184995062237654455176015133065831325480535162894286412590150492753850139515586323079709360554862227885577515348521551806704486923569597952109},
{a -> 41731785795525164150167931076865605781649459730691800415316291518058090194427533495725672476659672860089634173261362230517411076867392917334909144478,
c -> 64600143804425980666293840377087161460413837181433250778940640728609091635375888791243908284732763441719261803946632579691619397619237836542302468642},
{a -> 47285311600676563873086075536761453499623853023960683824750765106857121577215934685519914061424975317826983141509317746483010261626200010126639237344,
c -> 68764316037227159984567767046207089156390896741687059327935809632071729468372082706635899142512861667359994336644706873700670415517735298652624270113},
{a -> 60493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160494,
c -> 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777778},
{a -> 67144831715362207469455422596450415855570995331874572445064041162276140988149715211250388510977673432592740835370153210658504263474132035413467333744,
c -> 81941950010578957096051704446897705473754837338031586326772946681240415610773971693169768635557876003418510310475852071786828795676275239888099579248},
{a -> 75381232424652760495681242849398171368993881194044850144228181224600402526199533452327903319256950439125355468842581648651957969636436894069759624368,
c -> 86822366026648202888516062599309383682636059403655473001162862950831313857598111013466130506954985663941484026168854801913841619841460058764524690864},
{a -> 91845058838241964955098745056863512442714289734922759332587391233915157088113865240473927189487941469820753558616506338132495706007869454082940434688,
c -> 95835827767198820681726073330880072304022940439746191451004831096537362167003806084608009142219901774359267467301925705990948982101502537889678198529},
{a -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998,
c -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}} 提炼我们的公式——Flatten@Table], {k, 65}]
我们这串数——{1, 3, 3, 7, 7, 31, 7, 31, 7, 31, 7, 127, 15, 31, 63, 127, 7, 255, 3, 255, 127, 127, 3, 1023, 63, 127, 31, 511, 63, 8191, 15, 4095, 63, 127, 255, 2047, 15, 15, 63, 4095, 31, 16383, 31, 2047, 511, 127, 7, 8191, 31, 2047, 255, 1023, 31,
我们这串数与A070528有联系。
A070528——Number of divisors of 10^n-1 (999...999 with n digits).——3, 6, 8, 12, 12, 64, 12, 48, 20, 48, 12, 256, 24, 48, 128, 192, 12, 640, 6, 384, 256, 288, 6, 2048, 96, 192, 96, 768, 96, 16384, 24, 6144, 128, 192, 384, 5120, 24, 24, 128, 6144,
1 3——1——1
2 6——3——2
3 8——3
4 12——7——3
5 12——7
6 64——31——5
7 12——7
8 48——31
9 20——7
10 48——31
11 12——7
12 256——127——7
13 24——15——4
14 48——31
15 128——63——6
16 192——127
17 12——7
18 640——255——8
19 6——3
20 384——255
21 256——127
22 288——127
23 6——3
24 2048——1023——10
25 96——63
26 192——127
27 96——31
28 768——511——9
29 96——63
30 16384——8191——13
31 24——15
32 6144——4095——12
33 128——63
34 192——127
35 384——255
36 5120——2047——11
37 24——15
38 24——15
39 128——63
40 6144——4095
41 48——31
42 49152——16383——14
43 48——31
44 4608——2047
45 1280——511
46 192——127
47 12——7
48 16384——8191
49 48——31
50 3072——2047
51 512——255
52 1536——1023
53 48——31
54 12288——4095
55 768——511
56 12288——8191
57 128——63
58 768——511
59 12——7
60 2097152——1？？？？
61 384——255
62 96——63
63 20480——8191
64 98304——65535——16
65 384——255
66 49152——
67 24——15
68 3072——2047
69 128——
70 12288——
71 12——
72 327680——
73 24——15
74 384——
75 8192——
76 192
77 768
78 98304
79 192——127
80 98304
81 3584
82 384
83 24
84 6291456
85 384
86 768
87 2048
88 73728
89 96
90 5242880
91 12288
92 3072
93 128
94 192
95 768
96 8388608
97 24
98 768
99 5120
100 393216
101 24——15
102 131072
103 24——15
104 24576
105 262144
106 192
107 768
108 786432
109 48
110 589824
111 768
112 393216
113 24——15
114 8192
115 768
116 24576
117 5120
118 192
119 768
120 134217728
121 192
122 3072
123 2048
124 768
125 1536
126 62914560
127 24
128 786432
129 1024
130 24576
131 1536
132 12582912
133 192
134 96
135 196608
136 49152
137 96
138 131072
139 12
140 25165824
141 256
142 96
143 1536
144 10485760
145 6144
146 384
147 32768
148 49152
149 24——15
150 16777216
151 96
152 12288
153 81920
154 2359296
155 768
156 12582912
157 48
158 3072
159 2048
160 50331648
161 768
162 7340032
163 24
164 3072
165 262144
166 3072
167 48
168 1610612736
169 192
170 98304
171 2560
172 6144
173 48
174 524288
175 24576
176 1179648
177 256
178 1536
179 96
180 10737418240
181 192
182 786432
183 8192
184 49152
185 1536
186 32768
187 384
188 3072
189 786432
190 49152
191 24
192 2147483648
193 768
194 384
195 131072
196 24576
197 48
198 31457280
199 48
200 100663296
201 1024
202 1536
203 6144
204 268435456
205 2304
206 6144
207 2560
208 6291456
209 768
210 25769803776
211 12
212 6144
213 1024
214 98304
215 1536
216 201326592
217 768
218 768
219 1024
220 2415919104
221 768
222 786432
223 48
224 201326592
225 2621440
226 384
227 24
228 16777216
229 48
230 196608
231 4194304
232 3145728
233 768
234 125829120
235 1536
236 1536
237 4096
238 196608
239 96
240 34359738368
241 24
242 196608
243 16384
244 98304
245 49152
246 1048576
247 1536
248 98304
249 2048
250 786432
251 12
252 128849018880
253 768
254 6144
255 1048576
256 12582912
257 96
258 262144
259 3072
260 25165824
261 1310720
262 196608
263 24
264 51539607552
265 768
266 12288
267 2048
268 12288
269 48
270 51539607552
271 96
272 1179648
273 16777216
274 12288
275 196608
276 134217728
277 96
278 192
279 2560
280 6442450944
281 192
282 262144
283 48
284 12288
285 1048576
286 4718592
287 6144
288 42949672960
289 96
290 6291456
291 4096
292 24576
293 192
294 67108864
295 768
296 1572864
297 3145728
298 768
299 384
300 2199023255552
301 3072
302 6144
303 512
304 393216
305 393216
306 5368709120
307 48
308 1207959552
309 1024
310 98304
311 12
312 12884901888
313 24
314 768
315 671088640
316 98304
317 6
318 2097152
319 6144
320 1610612736
321 8192
322 3145728
323 384
324 1879048192
325 196608
326 1536
327 2048
328 98304
329 384
330 206158430208
331 24
332 24576
333 61440
334 3072
335 3072
336 824633720832
337 384
338 24576
339 1024
340 201326592
341 6144
342 31457280
343 1536
344 393216
345 4194304
346 768
347 12
348 1073741824
349 48
350 50331648
351 393216
352 603979776 \(雷劈数 =10^k*a+b=(a+b)^2=c^2,\ \ \ 即\frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1},\ \ 解这个比例\ \frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1},\ \ k是突破口。譬如当\ k=191\ 时,有\ 15\ 个解如下。\)
Solve[{(c (c - 1))/(10^191 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]
{{a -> 161398295183004190025063558871109931476182802219952390352298056709286933105546316721056042769833062829498302081914574298341434880501019884840607610284136589708332907402156450612519518815770,
c -> 4017440667676427427751828677112362907094201398941876643879263203343869313051309584648425366748254040400018673111548869699491520236586034340176634056704808719033071547606544576704504916575331},
{a -> 4134283683047981563685951354656181164562823281089329255534782884793310081131807989525963373936589469395750709810564630830065974239618956134804290807088148325202515068604340059068888245180488,
c -> 20332938014581123400759545320932973590704718543487629864751427583957623563666535100374511878641095338300484369797295276710622846402214474794287977573941534603990180845187141817826172138938504},
{a -> 5929409419693429775322959308223314382285287171364905809847104665620554686467287212167084988598678232312274324106749418037353611151226147262184836869462892380564145507619915580616301179106610,
c -> 24350378682257550828511373998045336497798919942429506508630690787301492876717844685022937245389349378700503042908844146410114366638800509134464611630646343323023252392793686394530677055513835},
{a -> 9737630636938126385618963507926026915595129210640762775566090210594204576533879537450241135696932009064801807294453452890312956861200890199199465921831152885846951490935572673113079759399880,
c -> 31205176873298004727044181557510219057756635613126049046924864768254062678837710870532618310166206176855052512646711409145441188916755046421090943924909212232532303162761869161024878500041721},
{a -> 12406327864377597538150654084483741372421777985856160270008505322371259207922077631085147706310681068814965607566656298682460342434689292783126291033572862962744289438149491125681783399446348,
c -> 35222617540974432154796010234622581964850837012067925690804127971597931991889020455181043676914460217255071185758260278844932709153341080761267577981614020951565374710368413737729383416617052},
{a -> 16343426343668155118443191154524318211589979089580259571101594962378933963479690883453319914302249224449234790180290887651879836645510964668881130424077393036987577951504981024406046012724118,
c -> 40427003776768017016692615767332081537350243045502567800565181241100575131393134859796019077696190404044425771332895574744952924207858410104267810387739635725411372896837899867739939527869114},
{a -> 19753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086420,
c -> 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445},
{a -> 30864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530,
c -> 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555},
{a -> 35489418790132121085057959619860155136889492998575123969971232480177783700693421163861281758909868416360383247514499738161973988229794144460345509648598121586164832157829181288926166956985890,
c -> 59572996223231982983307384232667918462649756954497432199434818758899424868606865140203980922303809595955574228667104425255047075792141589895732189612260364274588627103162100132260060472130886},
{a -> 41961092782428733228558633615238577442720103961720308888400249379175395224144036720723060352481760634304823236050135740992594924128007131260591135070344821059613540017412663650223016566212244,
c -> 64777382459025567845203989765377418035149162987932074309195872028402068008110979544818956323085539782744928814241739721155067290846658919238732422018385979048434625289631586262270616583382948},
{a -> 47327276890342116931530600392905588800081857984388664681716360674086079218858457796385004515364519655354696782001030634599430579027690797357017578072012728420782345165411834351063322759316438,
c -> 68794823126701995272955818442489780942243364386873950953075135231745937321162289129467381689833793823144947487353288590854558811083244953578909056075090787767467696837238130838975121499958279},
{a -> 57228652055178328118300211312132641386687447286505892792585723091017568933031597842121210497819979474911268238289061125217124877873625128993255613608170205734517640722032542791554947068078940,
c -> 75649621317742449171488626001954663502201080057570493491369309212698507123282155314977062754610650621299496957091155853589885633361199490865535388369353656676976747607206313605469322944486165},
{a -> 63468407653885734762166860712790233983153386194114069526031927716878062953798737788776939616654398792794781970215974077408820281435190006546228335659205079117222153378230056423416543967303480,
c -> 79667061985418876599240454679067026409295281456512370135248572416042376436333464899625488121358904661699515630202704723289377153597785525205712022426058465396009819154812858182173827861061496},
{a -> 92126516959830149334521406204646384117287780004336199102593771650021548307002927147424205309273324982029460955858816834899358394407328951204487339496874519151642189812189067297203509685665108,
c -> 95982559332323572572248171322887637092905798601058123356120736796656130686948690415351574633251745959599981326888451130300508479763413965659823365943295191280966928452393455423295495083424669},
{a -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998,
c -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}} northwolves 发表于 2025-11-24 23:13
A285273
Number of integers, x, with n+1 digits, that have the property that there exists an intege ...
“雷劈数”——高位不能是"0"。——OEIS没有。
81=(8+1)^2=9^2,
100=(10+0)^2=10^2,
2025=(20+25)^2=45^2,
3025=(30+25)^2=55^2,
88209=(88+209)^2=297^2,
404209=(404+209)^2=703^2,
4941729=(494+1729)^2=2223^2,
7441984=(744+1984)^2=2728^2,
24502500=(2450+2500)^2=4950^2,
25502500=(2550+2500)^2=5050^2,
52881984=(5288+1984)^2=7272^2,
60481729=(6048+1729)^2=7777^2,
{9, 10, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 17344, 22222, 77778, 82656, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687,
Flatten@Table[(a + b) /. Solve[{10^k a + b == (a + b)^2, a > 0, b ≥ 10^(k - 1)}, {a, b},Integers], {k, 9}]——前面不需要加Sort@。
Flatten@Table], {k, 9}]——根据k分别计数——得到
{1, 3, 2, 6, 4, 26, 4, 24, 6, 20, 6, 98, 12, 26, 48, 98, 4, 206, 0, 198, 98, 104, 2, 798, 52, 94, 24, 400, 48, 6334, 12, 3166, 50, 96, 172, 1578, 4, 12, 44, 3178, 20, 12686,24, 1594, 388, 98, 4, 6356, 30, 1596, 202, 788, 24, 3166, 390, 6352,
48, 406, 6, 000000, 196, 52, 6312, 50758, 204, 12678, 8, 1562, 50, 6354, 4, 101534, 10, 188, 3178, 96, 398, 25412, 104, 50758}—— 注意a(19)=0,a(60)=000000——应该是个6位数。
这串数与 2^PrimeNu有联系。OEIS有类似的数字串吗？谢谢！
页:
1
[2]