这是“雷劈数”吗

王守恩

这是“雷劈数”吗?——这是“雷劈数”！——“雷劈”——不会改变前后顺序。"数"——高位不能是"0"。——OEIS应该有这两串数。可惜没有！

100=(10-0)^2=10^2,
121=(12-1)^2=11^2,
1656369=(1656-369)^2=1287^2,
1860496=(1860-496)^2=1364^2,
123121216=(12312-1216)^2=11096^2
13967221489=(139672-21489)^2=118183^2
178659044956=(1786590-449956)^2=1336634^2
161983503471076=(16198350-3471076)^2=12727274^2
15259515629065744=(152595156-29065744)^2=123529412^2
1205042682107298321=(1205042682-107298321)^2=1097744361^2
1256370006135490884=(1256370006-135490884)^2=1120879122^2
1299640762159622884=(1299640762-159622884)^2=1140017878^2

{10, 11, 1287, 1364, 11096, 118183, 1336634, 12727274, 123529412, 1097744361, 1120879122, 1140017878, 1165991904, 1237762239, 1288553552, 1307692308, 1333666334, 1405436669, 1428571430, 1447710186, 1454545455,
Sort@Flatten@Table[(a - b) /. Solve[{10^k a + b == (a - b)^2, a > 10^k > b ≥ 10^(k - 1)}, {a, b}, Integers], {k, 9}]

81=(8+1)^2=9^2,
100=(10+0)^2=10^2,
2025=(20+25)^2=45^2,
3025=(30+25)^2=55^2,
88209=(88+209)^2=297^2,
404209=(404+209)^2=703^2,
4941729=(494+1729)^2=2223^2,
7441984=(744+1984)^2=2728^2,
24502500=(2450+2500)^2=4950^2,
25502500=(2550+2500)^2=5050^2,
52881984=(5288+1984)^2=7272^2,
60481729=(6048+1729)^2=7777^2,

{9, 10, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 17344, 22222, 77778, 82656, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687,  
Sort@Flatten@Table[(a + b) /. Solve[{10^k a + b == (a + b)^2, a > 0, b ≥ 10^(k - 1)}, {a, b},  Integers], {k, 6}]

王守恩

继续学习！——这是不错的数字串！——高位不能是"0"——也就是把平凡解去掉！

100=(10-0)^2=10^2
121=(12-1)^2=11^2
82369=(82-369)^2=287^2
132496=(132-496)^2=364^2
1201216=(120-1216)^2=1096^2
1656369=(1656-369)^2=1287^2
1860496=(1860-496)^2=1364^2
123121216=(12312-1216)^2=11096^2
330621489=(3306-21489)^2=18183^2
13967221489=(139672-21489)^2=118183^2
113322449956=(113322-449956)^2=336634^2
1786590449956=(1786590-449956)^2=1336634^2
7438023471076=(743802-3471076)^2=2727274^2
161983503471076=(16198350-3471076)^2=12727274^2
36629219505049=(366292-19505049)^2=19138757^2
553633229065744=(5536332-29065744)^2=23529412^2
67465026648676=(674650-26648676)^2=25974026^2
9553960107298321=(9553960-107298321)^2=97744361^2
14611762135490884=(14611762-135490884)^2=120879122^2
15259515629065744=(152595156-29065744)^2=123529412^2
19605006159622884=(19605006-159622884)^2=140017878^2

{10,11,287,364,1096,1287,1364,11096,18183,118183,336634,1336634,2727274,12727274,19138757,23529412,25974026,97744361,120879122,123529412,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,405436669,428571430,440553516,447710186,454545455,473684212,526315790,545454547,552289816,571428572,594563333,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,1447710186,1454545455,1473684212,1503588109,1526315790,1539644505,1545454547,1552289816,1571428572,1594563333,1980198021,11539644505,11980198021,18690447106,20194035214,26086956523,27590544631,36496350366,44777403628,46280991736,53719008266,55222596374,118690447106,120194035214,126086956523,127590544631,144777403628,146280991736,153719008266,155222596374,333366663334,369863013699,1333366663334,1369863013699,1875222495866,240

这通项公式不好找。——只能来个代码。

1. A = Flatten@Table[c /. Solve[{(c + 1)/(10^k + 1) == a/c, c > 0, a > 10^k > a - c >= 10^(k - 1)}, {a, c}, Integers], {k, 9}];
   
2. B = Flatten@Table[c /. Solve[{(c - 1)/(10^k + 1) == a/c, c > 0, 10^k > a + c > a > 0}, {a, c}, Integers], {k, 9}]; R = Union[A, B];
   
3. Print["代码A的结果：", A]Print["代码B的结果：", B]Print["合并R的结果：", R]
   
4. Print["代码A长度：", Length[A], "代码B长度：", Length[B], "合并R长度：", Length[R]]

复制代码

代码A的结果:{11,c,1287,1364,11096,118183,1336634,12727274,123529412,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,1447710186,1454545455,1473684212}
代码B的结果:{c,c,78,287,364,1096,18183,336634,2727274,23529412,19138757,25974026,97744361,120879122,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,405436669,428571430,447710186,454545455,473684212}
合并R的结果:{11,78,287,364,1096,1287,1364,11096,18183,118183,336634,1336634,2727274,12727274,19138757,23529412,25974026,97744361,120879122,123529412,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,
405436669,428571430,447710186,454545455,473684212,526315790,545454547,552289816,571428572,594563333,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,c}

求助。结果里面混杂了c——我不知道怎么删除。前面几项有问题——需要调整。代码B=A118938。A228381——里面的公式运行太慢了。

王守恩

雷劈数——A006886——Kaprekar numbers: positive numbers n such that n = q+r and n^2 = q*10^m+r, for some m >= 1, q >= 0 and 0 <= r < 10^m, with n != 10^a, a >= 1.

{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313,
461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, 4444444, 4927941, 5072059, 5479453, 5555556,
8161912, 9372385, 9999999, 11111112, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 55636659, 61116111,
63636364, 69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977, 83409436, 86358636, 88888888, 91838088, 94520547, 99999999, 234567901, 332999667, 432432432, 567567568, 667000333, 765432099, 999999999}

公式A——kaprQ[\[Nu]_] := Module[{n = \[Nu]^2},MemberQ[Plus @@ # & /@Select[Table[{Floor[n/10^j], 10^j*FractionalPart[n/10^j]}, {j,IntegerLength@n - 1}], #[[2]] != 0 &], \[Nu]]];Select[Range@1000000, kaprQ]

公式B——Sort@Flatten@Table[c /. Solve[{(c - 1)/(10^k - 1) == a/c, c > a > 0}, {a, c}, Integers], {k, 9}]

公式C——Sort@Flatten@Table[c /. Solve[{(c - 1)/(10^k - 1) == a/c, c - 10^(k - 1) >= a > 0}, {a, c}, Integers], {k, 9}]

公式A是A006886自带的公式。公式B比公式A快多了。注意公式B与公式C的区别。公式C是下面数字串的通项公式。

{9, 10, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 17344, 22222, 77778, 82656, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687,
643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 4444444, 4927941, 5072059, 5555556, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548,
49995000, 50005000,55474452, 55636659, 61116111, 63636364,69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977,83409436, 86358636, 234567901, 332999667,432432432,567567568,667000333, 765432099,1776299581, 2020202020}
81=(8+1)^2=9^2,
100=(10+0)^2=10^2,
2025=(20+25)^2=45^2,
3025=(30+25)^2=55^2,
88209=(88+209)^2=297^2,
404209=(404+209)^2=703^2,
4941729=(494+1729)^2=2223^2,
7441984=(744+1984)^2=2728^2,
24502500=(2450+2500)^2=4950^2,
25502500=(2550+2500)^2=5050^2,
52881984=(5288+1984)^2=7272^2,
60481729=(6048+1729)^2=7777^2,

这也是挺好玩的！——高位不能是"0"——也就是把A006886中的平凡解去掉！——继续学习！——

王守恩

{10,11,287,364,1096,1287,1364,11096,18183,118183,336634,1336634,2727274,12727274,19138757,23529412,25974026,97744361,120879122,123529412,140017878,165991904,237762239,288553552,307692308,333666334,405436669,428571430,440553516,447710186,454545455,473684212,526315790,545454547,552289816,571428572,594563333,1097744361,1120879122,1140017878,1165991904,1237762239,1288553552,1307692308,1333666334,1405436669,1428571430,1447710186,1454545455,1473684212,1503588109,1526315790,1539644505,1545454547,1552289816,1571428572,1594563333,1980198021,11539644505,11980198021,18690447106,20194035214,26086956523,27590544631,36496350366,44777403628,46280991736,53719008266,55222596374,118690447106,120194035214,126086956523,127590544631,144777403628,146280991736,153719008266,155222596374,333366663334,369863013699,1333366663334,1369863013699,1875222495866,240

12#的通项公式可以这样。

Print[Union[Flatten@Table[c /. Solve[{(c + 1)/(10^k + 1) == a/c, c > 0, a > 10^k > a - c >= 10^(k - 1)}, {a, c}, Integers], {k, 9}], Flatten@Table[c /. Solve[{(c - 1)/(10^k + 1) == a/c, c > 0, 10^k > a + c > a > 0}, {a, c}, Integers], {k, 9}]]]

王守恩

northwolves 发表于 2025-11-19 15:53
A228103
Numbers k whose base-10 digits can be split into two parts, q and r, with k = (q-r)^2.

雷劈数——A006886——给出了前51514项——也就是50位数。

{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313,
461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, 4444444, 4927941, 5072059, 5479453, 5555556,
8161912, 9372385, 9999999, 11111112, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 55636659, 61116111,
63636364, 69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977, 83409436, 86358636, 88888888, 91838088, 94520547, 99999999, 234567901, 332999667, 432432432, 567567568, 667000333, 765432099, 999999999}

用我们的公式——Sort@Flatten@Table[c /. Solve[{(c - 1)/(10^k - 1) == a/c, c > a > 0}, {a, c}, Integers], {k, 9}]——容易些。譬如67位数——有15个。

Solve[{(c (c - 1))/(10^67 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]

{{a -> 567049959273271760203330052873814555049378239599793403251259060, c -> 75302719690146102996172402804835899263289556872373948869741374660},
{a -> 14468375159748488300619171935320813128368690398139319524815963628, c -> 380373174129676083557585257979278919372730019609791511616824268284},
{a -> 20764052020849386359030064673256942865620904121343007951599941694, c -> 455675893819822186553757660784114818636019576482165460486565642943},
{a -> 312068593039200019495631598151921961743439363956429963784731260880, c -> 1766546328402400035668464561438107403586202645740056761735656579280},
{a -> 460926335035257719811287200411218353154081180123482976621637808594, c -> 2146919502532076119226049819417386322958932665349848273352480847563},
{a -> 493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160494, c -> 2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223},
{a -> 677350279711209463708928669308827493343409192940762707403898354470, c -> 2602595396351898305779807480201501141594952241832013733839046490506},
{a -> 5472159487007412852149313708905825210153504709276735239725805373458, c -> 7397404603648101694220192519798498858405047758167986266160953509494},
{a -> 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716048, c -> 7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777},
{a -> 6167087329971105481359187561576445707236215849423786429916676113468, c -> 7853080497467923880773950180582613677041067334650151726647519152437},
{a -> 6778975936234399948158702475275707154571034072476316440313418102320, c -> 8233453671597599964331535438561892596413797354259943238264343420720},
{a -> 9109412264381205013251514743105027305593581751157012086978468655808, c -> 9544324106180177813446242339215885181363980423517834539513434357057},
{a -> 9253722026900396321185448655976762974382908651178556296291167427060, c -> 9619626825870323916442414742020721080627269980390208488383175731716},
{a -> 9849961610578981065767858524443202016028470264494851895663768509740, c -> 9924697280309853897003827597195164100736710443127626051130258625340},
{a -> 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998, c -> 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}}

提炼我们的公式——Flatten@Table[Dimensions[c /. Solve[{(c (c - 1))/(10^k - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]], {k, 65}]

得到这样一串数。——{1, 3, 3, 7, 7, 31, 7, 31, 7, 31, 7, 127, 15, 31, 63, 127, 7, 255, 3, 255, 127, 127, 3, 1023, 63, 127, 31, 511, 63, 8191, 15, 4095, 63, 127, 255, 2047, 15, 15, 63, 4095, 31, 16383,
31, 2047, 511, 127, 7, 8191, 31, 2047, 255, 1023, 31, 4095, 511, 8191, 63, 511, 7, 1, 255, 63, 8191, 65535, 255,......}——我这里来不了了——为什么是这些数？什么规律？

请注意64位数就有65535个解——比51514还要大。——可惜我这里来不了了。求助！！！——又：k=60,  只有1个解？！！

补充内容 (2025-11-27 17:19):
k=60,  有1048575个解！！！

northwolves

王守恩 发表于 2025-11-24 08:25
雷劈数——A006886——给出了前51514项——也就是50位数。

{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 27 ...

A285273
Number of integers, x, with n+1 digits, that have the property that there exists an integer k, with x <= k < 2*x, such that k/x = 1 + (x-10^n)/(10^n-1), i.e., the same digits appear in the denominator and in the recurring decimal.

2, 4, 4, 8, 8, 32, 8, 32, 8, 32, 8, 128, 16, 32, 64, 128, 8, 256, 4, 256, 128, 128, 4, 1024, 64, 128, 32, 512, 64, 8192, 16, 4096, 64, 128, 256, 2048, 16, 16, 64, 4096, 32, 16384, 32, 2048, 512, 128, 8, 8192, 32, 2048, 256, 1024, 32, 4096, 512, 8192, 64, 512, 8

王守恩

northwolves 发表于 2025-11-24 23:13
A285273
Number of integers, x, with n+1 digits, that have the property that there exists an intege ...

A285273——说明我们的方向没错！我们的公式还是快一些。

我就好奇——Solve[{(c (c - 1))/(10^149 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]——能出来下面的15个解。

我就好奇——Solve[{(c (c - 1))/(10^60 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]——就不行了？那里卡了？前(57,58,59)后(61,62,63)都行！

{{a -> 173403303844323591646598395103367834668408855430376430577729040840432754106253071257908905048137921102218624012654926150597741804864378303584037630,
  c -> 4164172232801179318273926669119927695977059560253808548995168903462637832996193915391990857780098225640732532698074294009051017898497462110321801471},
{a -> 1736500371356354718649117650779404003721762386733904141902455322937774811003311425395642305346979111242387416504872044824274729953516776540710242640,
  c -> 13177633973351797111483937400690616317363940596344526998837137049168686142401888986533869493045014336058515973831145198086158380158539941235475309136},
{a -> 3260931694204293277352013702655004908061320655811399791518147799795309766601771824910851239861921425755720214418449067084846672121581555637268175248,
  c -> 18058049989421042903948295553102294526245162661968413673227053318759584389226028306830231364442123996581489689524147928213171204323724760111900420752},
{a -> 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938,
  c -> 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222},
{a -> 9756679526222243903950541444347275186842059540586565168879145842713662640471769272248115776399251983106994468219903999081669430590729412821390697118,
  c -> 31235683962772840015432232953792910843609103258312940672064190367928270531627917293364100857487138332640005663355293126299329584482264701347375729887},
{a -> 12531498186673202817580250322691282860821785367825298857435010060839906923675755913237855907194145976651110565368097071134172281628917244250304207194,
  c -> 35399856195574019333706159622912838539586162818566749221059359271390908364624111208756091715267236558280738196053367420308380602380762163457697531358},
{a -> 21661664966847208818216450676718796590610614965926929061717565764207957862877725087508897158579752848383035041272164074220983904112144815663744500010,
  c -> 46542093815004937762345544823984866934168674519464837105713587409849507246149860484413676920290639445137772114422484651478448193295513076430402047891},
{a -> 28577477336837333293525361028749062722273265926997254850290390944508943370578004118681543317998473958107490812427194771264087517521118662802940404228,
  c -> 53457906184995062237654455176015133065831325480535162894286412590150492753850139515586323079709360554862227885577515348521551806704486923569597952109},
{a -> 41731785795525164150167931076865605781649459730691800415316291518058090194427533495725672476659672860089634173261362230517411076867392917334909144478,
  c -> 64600143804425980666293840377087161460413837181433250778940640728609091635375888791243908284732763441719261803946632579691619397619237836542302468642},
{a -> 47285311600676563873086075536761453499623853023960683824750765106857121577215934685519914061424975317826983141509317746483010261626200010126639237344,
  c -> 68764316037227159984567767046207089156390896741687059327935809632071729468372082706635899142512861667359994336644706873700670415517735298652624270113},
{a -> 60493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160494,
  c -> 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777778},
{a -> 67144831715362207469455422596450415855570995331874572445064041162276140988149715211250388510977673432592740835370153210658504263474132035413467333744,
  c -> 81941950010578957096051704446897705473754837338031586326772946681240415610773971693169768635557876003418510310475852071786828795676275239888099579248},
{a -> 75381232424652760495681242849398171368993881194044850144228181224600402526199533452327903319256950439125355468842581648651957969636436894069759624368,
  c -> 86822366026648202888516062599309383682636059403655473001162862950831313857598111013466130506954985663941484026168854801913841619841460058764524690864},
{a -> 91845058838241964955098745056863512442714289734922759332587391233915157088113865240473927189487941469820753558616506338132495706007869454082940434688,
  c -> 95835827767198820681726073330880072304022940439746191451004831096537362167003806084608009142219901774359267467301925705990948982101502537889678198529},
{a -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998,
  c -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}}

王守恩

提炼我们的公式——Flatten@Table[Dimensions[c /. Solve[{(c (c - 1))/(10^k - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]], {k, 65}]

我们这串数——{1, 3, 3, 7, 7, 31, 7, 31, 7, 31, 7, 127, 15, 31, 63, 127, 7, 255, 3, 255, 127, 127, 3, 1023, 63, 127, 31, 511, 63, 8191, 15, 4095, 63, 127, 255, 2047, 15, 15, 63, 4095, 31, 16383, 31, 2047, 511, 127, 7, 8191, 31, 2047, 255, 1023, 31,

我们这串数与A070528有联系。

A070528——Number of divisors of 10^n-1 (999...999 with n digits).——3, 6, 8, 12, 12, 64, 12, 48, 20, 48, 12, 256, 24, 48, 128, 192, 12, 640, 6, 384, 256, 288, 6, 2048, 96, 192, 96, 768, 96, 16384, 24, 6144, 128, 192, 384, 5120, 24, 24, 128, 6144,

1        3——1——1
2        6——3——2
3        8——3
4        12——7——3
5        12——7
6        64——31——5
7        12——7
8        48——31
9        20——7
10        48——31
11        12——7
12        256——127——7
13        24——15——4
14        48——31
15        128——63——6
16        192——127
17        12——7
18        640——255——8
19        6——3
20        384——255
21        256——127
22        288——127
23        6——3
24        2048——1023——10
25        96——63
26        192——127
27        96——31
28        768——511——9
29        96——63
30        16384——8191——13
31        24——15
32        6144——4095——12
33        128——63
34        192——127
35        384——255
36        5120——2047——11
37        24——15
38        24——15
39        128——63
40        6144——4095
41        48——31
42        49152——16383——14
43        48——31
44        4608——2047
45        1280——511
46        192——127
47        12——7
48        16384——8191
49        48——31
50        3072——2047
51        512——255
52        1536——1023
53        48——31
54        12288——4095
55        768——511
56        12288——8191
57        128——63
58        768——511
59        12——7
60        2097152——1？？？？
61        384——255
62        96——63
63        20480——8191
64        98304——65535——16
65        384——255
66        49152——
67        24——15
68        3072——2047
69        128——
70        12288——
71        12——
72        327680——
73        24——15
74        384——
75        8192——
76        192
77        768
78        98304
79        192——127
80        98304
81        3584
82        384
83        24
84        6291456
85        384
86        768
87        2048
88        73728
89        96
90        5242880
91        12288
92        3072
93        128
94        192
95        768
96        8388608
97        24
98        768
99        5120
100        393216
101        24——15
102        131072
103        24——15
104        24576
105        262144
106        192
107        768
108        786432
109        48
110        589824
111        768
112        393216
113        24——15
114        8192
115        768
116        24576
117        5120
118        192
119        768
120        134217728
121        192
122        3072
123        2048
124        768
125        1536
126        62914560
127        24
128        786432
129        1024
130        24576
131        1536
132        12582912
133        192
134        96
135        196608
136        49152
137        96
138        131072
139        12
140        25165824
141        256
142        96
143        1536
144        10485760
145        6144
146        384
147        32768
148        49152
149        24——15
150        16777216
151        96
152        12288
153        81920
154        2359296
155        768
156        12582912
157        48
158        3072
159        2048
160        50331648
161        768
162        7340032
163        24
164        3072
165        262144
166        3072
167        48
168        1610612736
169        192
170        98304
171        2560
172        6144
173        48
174        524288
175        24576
176        1179648
177        256
178        1536
179        96
180        10737418240
181        192
182        786432
183        8192
184        49152
185        1536
186        32768
187        384
188        3072
189        786432
190        49152
191        24
192        2147483648
193        768
194        384
195        131072
196        24576
197        48
198        31457280
199        48
200        100663296
201        1024
202        1536
203        6144
204        268435456
205        2304
206        6144
207        2560
208        6291456
209        768
210        25769803776
211        12
212        6144
213        1024
214        98304
215        1536
216        201326592
217        768
218        768
219        1024
220        2415919104
221        768
222        786432
223        48
224        201326592
225        2621440
226        384
227        24
228        16777216
229        48
230        196608
231        4194304
232        3145728
233        768
234        125829120
235        1536
236        1536
237        4096
238        196608
239        96
240        34359738368
241        24
242        196608
243        16384
244        98304
245        49152
246        1048576
247        1536
248        98304
249        2048
250        786432
251        12
252        128849018880
253        768
254        6144
255        1048576
256        12582912
257        96
258        262144
259        3072
260        25165824
261        1310720
262        196608
263        24
264        51539607552
265        768
266        12288
267        2048
268        12288
269        48
270        51539607552
271        96
272        1179648
273        16777216
274        12288
275        196608
276        134217728
277        96
278        192
279        2560
280        6442450944
281        192
282        262144
283        48
284        12288
285        1048576
286        4718592
287        6144
288        42949672960
289        96
290        6291456
291        4096
292        24576
293        192
294        67108864
295        768
296        1572864
297        3145728
298        768
299        384
300        2199023255552
301        3072
302        6144
303        512
304        393216
305        393216
306        5368709120
307        48
308        1207959552
309        1024
310        98304
311        12
312        12884901888
313        24
314        768
315        671088640
316        98304
317        6
318        2097152
319        6144
320        1610612736
321        8192
322        3145728
323        384
324        1879048192
325        196608
326        1536
327        2048
328        98304
329        384
330        206158430208
331        24
332        24576
333        61440
334        3072
335        3072
336        824633720832
337        384
338        24576
339        1024
340        201326592
341        6144
342        31457280
343        1536
344        393216
345        4194304
346        768
347        12
348        1073741824
349        48
350        50331648
351        393216
352        603979776

王守恩

\(雷劈数 =10^k*a+b=(a+b)^2=c^2,\ \ \ 即\frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1},\ \ 解这个比例\ \frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1},\ \ k是突破口。譬如当\ k=191\ 时,有\ 15\ 个解如下。\)

1. Solve[{(c (c - 1))/(10^191 - 1) == a, c > a > 0}, {a, c}, Integers]

复制代码

{{a -> 161398295183004190025063558871109931476182802219952390352298056709286933105546316721056042769833062829498302081914574298341434880501019884840607610284136589708332907402156450612519518815770,
  c -> 4017440667676427427751828677112362907094201398941876643879263203343869313051309584648425366748254040400018673111548869699491520236586034340176634056704808719033071547606544576704504916575331},
{a -> 4134283683047981563685951354656181164562823281089329255534782884793310081131807989525963373936589469395750709810564630830065974239618956134804290807088148325202515068604340059068888245180488,
  c -> 20332938014581123400759545320932973590704718543487629864751427583957623563666535100374511878641095338300484369797295276710622846402214474794287977573941534603990180845187141817826172138938504},
{a -> 5929409419693429775322959308223314382285287171364905809847104665620554686467287212167084988598678232312274324106749418037353611151226147262184836869462892380564145507619915580616301179106610,
  c -> 24350378682257550828511373998045336497798919942429506508630690787301492876717844685022937245389349378700503042908844146410114366638800509134464611630646343323023252392793686394530677055513835},
{a -> 9737630636938126385618963507926026915595129210640762775566090210594204576533879537450241135696932009064801807294453452890312956861200890199199465921831152885846951490935572673113079759399880,
  c -> 31205176873298004727044181557510219057756635613126049046924864768254062678837710870532618310166206176855052512646711409145441188916755046421090943924909212232532303162761869161024878500041721},
{a -> 12406327864377597538150654084483741372421777985856160270008505322371259207922077631085147706310681068814965607566656298682460342434689292783126291033572862962744289438149491125681783399446348,
  c -> 35222617540974432154796010234622581964850837012067925690804127971597931991889020455181043676914460217255071185758260278844932709153341080761267577981614020951565374710368413737729383416617052},
{a -> 16343426343668155118443191154524318211589979089580259571101594962378933963479690883453319914302249224449234790180290887651879836645510964668881130424077393036987577951504981024406046012724118,
  c -> 40427003776768017016692615767332081537350243045502567800565181241100575131393134859796019077696190404044425771332895574744952924207858410104267810387739635725411372896837899867739939527869114},
{a -> 19753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086419753086420,
  c -> 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445},
{a -> 30864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530864197530,
  c -> 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555},
{a -> 35489418790132121085057959619860155136889492998575123969971232480177783700693421163861281758909868416360383247514499738161973988229794144460345509648598121586164832157829181288926166956985890,
  c -> 59572996223231982983307384232667918462649756954497432199434818758899424868606865140203980922303809595955574228667104425255047075792141589895732189612260364274588627103162100132260060472130886},
{a -> 41961092782428733228558633615238577442720103961720308888400249379175395224144036720723060352481760634304823236050135740992594924128007131260591135070344821059613540017412663650223016566212244,
  c -> 64777382459025567845203989765377418035149162987932074309195872028402068008110979544818956323085539782744928814241739721155067290846658919238732422018385979048434625289631586262270616583382948},
{a -> 47327276890342116931530600392905588800081857984388664681716360674086079218858457796385004515364519655354696782001030634599430579027690797357017578072012728420782345165411834351063322759316438,
  c -> 68794823126701995272955818442489780942243364386873950953075135231745937321162289129467381689833793823144947487353288590854558811083244953578909056075090787767467696837238130838975121499958279},
{a -> 57228652055178328118300211312132641386687447286505892792585723091017568933031597842121210497819979474911268238289061125217124877873625128993255613608170205734517640722032542791554947068078940,
  c -> 75649621317742449171488626001954663502201080057570493491369309212698507123282155314977062754610650621299496957091155853589885633361199490865535388369353656676976747607206313605469322944486165},
{a -> 63468407653885734762166860712790233983153386194114069526031927716878062953798737788776939616654398792794781970215974077408820281435190006546228335659205079117222153378230056423416543967303480,
  c -> 79667061985418876599240454679067026409295281456512370135248572416042376436333464899625488121358904661699515630202704723289377153597785525205712022426058465396009819154812858182173827861061496},
{a -> 92126516959830149334521406204646384117287780004336199102593771650021548307002927147424205309273324982029460955858816834899358394407328951204487339496874519151642189812189067297203509685665108,
  c -> 95982559332323572572248171322887637092905798601058123356120736796656130686948690415351574633251745959599981326888451130300508479763413965659823365943295191280966928452393455423295495083424669},
{a -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998,
  c -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}}

王守恩

northwolves 发表于 2025-11-24 23:13
A285273
Number of integers, x, with n+1 digits, that have the property that there exists an intege ...

“雷劈数”——高位不能是"0"。——OEIS没有。

81=(8+1)^2=9^2,
100=(10+0)^2=10^2,
2025=(20+25)^2=45^2,
3025=(30+25)^2=55^2,
88209=(88+209)^2=297^2,
404209=(404+209)^2=703^2,
4941729=(494+1729)^2=2223^2,
7441984=(744+1984)^2=2728^2,
24502500=(2450+2500)^2=4950^2,
25502500=(2550+2500)^2=5050^2,
52881984=(5288+1984)^2=7272^2,
60481729=(6048+1729)^2=7777^2,

{9, 10, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 17344, 22222, 77778, 82656, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687,  

Flatten@Table[(a + b) /. Solve[{10^k a + b == (a + b)^2, a > 0, b ≥ 10^(k - 1)}, {a, b},  Integers], {k, 9}]——前面不需要加Sort@。

Flatten@Table[Dimensions[(a + b) /. Solve[{10^k a + b == (a + b)^2, a > 0, b >= 10^(k - 1)}, {a, b}, Integers]], {k, 9}]——根据k分别计数——得到

{1, 3, 2, 6, 4, 26, 4, 24, 6, 20, 6, 98, 12, 26, 48, 98, 4, 206, 0, 198, 98, 104, 2, 798, 52, 94, 24, 400, 48, 6334, 12, 3166, 50, 96, 172, 1578, 4, 12, 44, 3178, 20, 12686,24, 1594, 388, 98, 4, 6356, 30, 1596, 202, 788, 24, 3166, 390, 6352,
48, 406, 6, 000000, 196, 52, 6312, 50758, 204, 12678, 8, 1562, 50, 6354, 4, 101534, 10, 188, 3178, 96, 398, 25412, 104, 50758}—— 注意a(19)=0,  a(60)=000000——应该是个6位数。

这串数与 2^PrimeNu[10^n - 1]有联系。OEIS有类似的数字串吗？谢谢！