论坛 › 难题征解 › 四个半圆问题

surftan 发表于 2026-4-4 21:42:22

四个半圆问题

      图中展示了四个半圆 O、O1、O2和O3的位置关系，P、Q、U、V、W为切点。
求 R、r1、r2、r3 之间的关系式。

Gongwen0519 发表于 2026-4-5 14:22:02

图形不唯一，尚差约束条件。

surftan 发表于 2026-4-6 09:24:09

Gongwen0519 发表于 2026-4-5 14:22
图形不唯一，尚差约束条件。

图形不是唯一的，但半径之间的关系是有的

Ickiverar 发表于 2026-4-6 13:41:55

{
((r1+r2)^2-R^2)^2==(R^2-2 r1^2) (R^2-2 r2^2),
((r2+r3)^2-R^2)^2==(R^2-2 r2^2) (R^2-2 r3^2)
}

Ickiverar 发表于 2026-4-6 14:00:40

假定R =1，
r1 和 r3 是同一个四次方程 r2^4-4 r2 x+4 r2^3 x+2 r2^2 x^2+4 r2 x^3+x^4 的两个根。

Ickiverar 发表于 2026-4-6 14:34:22

本帖最后由 Ickiverar 于 2026-4-6 14:36 编辑

5#的结论没问题。这里给出两个极端情况（左右）和一个中间情况：



左： $r2 = \sqrt{2}/2, r1=r3=1-\sqrt{2}/2$
右：$r2=1-\sqrt{2}/2, r1=0.006..., r3=\sqrt{2}/2$

r1最小是到不了0的……

Jack315 发表于 2026-4-6 15:00:25

求解方程组：
sol = Solve[{\^2 == xu^2 + 2 r1^2, \^2 == xv^2 + 2 r2^2, \^2 == xw^2 + 2 r3^2, (r2 - r1)^2 + (xv - xu)^2 == (r1 + r2)^2, (r3 - r2)^2 + (xw - xv)^2 == (r2 + r3)^2}, {\, xu, xv, xw, r3}] // FullSimplify
得到 16 个解。判别增根：
Table[{i, And[{xu, xv, xw} \ Reals, xu < xv < xw, \ > 0, r3 > 0], \, xu, xv, xw, r3} /. sol[] /. {r1 -> 1, r2 -> 2}, {i, Length}] // N
得到 6 号唯一解 (索引号或有差别)。解为：
sol[]
\(\rho=\sqrt{\frac{(r_1^2+r_2^2)(r_1^2+4r_1r_2+r_2^2)}{4r_1r_2}}\)
r3 -> (-2 2^(2/3) r1^8 r2^8 + 4 2^(2/3) r1^7 r2^9 +
    42 2^(2/3) r1^6 r2^10 -
    2 2^(2/3) Sqrt r1^2 r2^2 Sqrt[
   r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
      27 r2^4)] -
    2 r1^4 r2^4 (r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
       3 Sqrt Sqrt[
      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
         27 r2^4)])^(2/3) -
    8 r1^3 r2^5 (r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
       3 Sqrt Sqrt[
      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
         27 r2^4)])^(2/3) +
    5 r1^6 r2^6 (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
       6 Sqrt Sqrt[
      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
         27 r2^4)])^(1/3) +
    14 r1^5 r2^7 (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
       6 Sqrt Sqrt[
      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
         27 r2^4)])^(1/3) -
    9 r1^4 r2^8 (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
       6 Sqrt Sqrt[
      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
         27 r2^4)])^(1/3) +
    Sqrt Sqrt[
   r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
      27 r2^4)] (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
       6 Sqrt Sqrt[
      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
         27 r2^4)])^(
   1/3))/(6 r1^3 r2^4 (r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
      3 Sqrt Sqrt[
       r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
          27 r2^4)])^(2/3))

Gongwen0519 发表于 2026-4-6 21:59:23

r1、r2与R的关系：
$$
\left( r_1^2+r_2^2 \right) ^2=4\,r_1\,r_2\,\left( R^2-r_1^2-r_2^2 \right)
$$
r2、r3与R的关系：
$$
\left( r_2^2+r_3^2 \right) ^2=4\,r_2\,r_3\,\left( R^2-r_2^2-r_3^2 \right)
$$
由上二者可以推导出r1、r2、r3与R的四者关系：
$$
\left( \frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{r_{2}^{2}+r_{3}^{2}} \right) ^2=\frac{r_1\cdot \left( R^2-r_{1}^{2}-r_{2}^{2} \right)}{r_3\cdot \left( R^2-r_{2}^{2}-r_{3}^{2} \right)}
$$
以及推导出r1、r2、r3三者关系：
$$
r_2^4-2\,r_1r_3\,\cdot r_2^2-4\,r_1\,r_{3\,}\left( r_1+r_3 \right) \cdot r_2-r_1r_3\,\,\left( r_1^2+r_1r_3\,+r_3^2 \right) =0
$$

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