四个半圆问题

surftan

        图中展示了四个半圆 O、O1、O2和O3的位置关系，P、Q、U、V、W为切点。
求 R、r1、r2、r3 之间的关系式。

Gongwen0519

图形不唯一，尚差约束条件。

surftan

Gongwen0519 发表于 2026-4-5 14:22
图形不唯一，尚差约束条件。

图形不是唯一的，但半径之间的关系是有的

Ickiverar

{
((r1+r2)^2-R^2)^2==(R^2-2 r1^2) (R^2-2 r2^2),
((r2+r3)^2-R^2)^2==(R^2-2 r2^2) (R^2-2 r3^2)
}

Ickiverar

假定R =1，
r1 和 r3 是同一个四次方程 r2^4-4 r2 x+4 r2^3 x+2 r2^2 x^2+4 r2 x^3+x^4 的两个根。

Ickiverar

5#的结论没问题。这里给出两个极端情况（左右）和一个中间情况：



左： $r2 = \sqrt{2}/2, r1=r3=1-\sqrt{2}/2$
右：$r2=1-\sqrt{2}/2, r1=0.006..., r3=\sqrt{2}/2$

r1最小是到不了0的……

Jack315

求解方程组：

1. sol = Solve[{\[Rho]^2 == xu^2 + 2 r1^2, \[Rho]^2 == xv^2 + 2 r2^2, \[Rho]^2 == xw^2 + 2 r3^2, (r2 - r1)^2 + (xv - xu)^2 == (r1 + r2)^2, (r3 - r2)^2 + (xw - xv)^2 == (r2 + r3)^2}, {\[Rho], xu, xv, xw, r3}] // FullSimplify

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得到 16 个解。判别增根：

1. Table[{i, And[{xu, xv, xw} \[Element] Reals, xu < xv < xw, \[Rho] > 0, r3 > 0], \[Rho], xu, xv, xw, r3} /. sol[[i]] /. {r1 -> 1, r2 -> 2}, {i, Length[sol]}] // N

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得到 6 号唯一解 (索引号或有差别)。解为：

1. sol[[6]]

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\(\rho=\sqrt{\frac{(r_1^2+r_2^2)(r_1^2+4r_1r_2+r_2^2)}{4r_1r_2}}\)

1. r3 -> (-2 2^(2/3) r1^8 r2^8 + 4 2^(2/3) r1^7 r2^9 +
   
2.     42 2^(2/3) r1^6 r2^10 -
   
3.     2 2^(2/3) Sqrt[3] r1^2 r2^2 Sqrt[
   
4.      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
   
5.         27 r2^4)] -
   
6.     2 r1^4 r2^4 (r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
   
7.        3 Sqrt[3] Sqrt[
   
8.         r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
   
9.            27 r2^4)])^(2/3) -
   
10.     8 r1^3 r2^5 (r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
    
11.        3 Sqrt[3] Sqrt[
    
12.         r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
13.            27 r2^4)])^(2/3) +
    
14.     5 r1^6 r2^6 (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
    
15.        6 Sqrt[3] Sqrt[
    
16.         r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
17.            27 r2^4)])^(1/3) +
    
18.     14 r1^5 r2^7 (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
    
19.        6 Sqrt[3] Sqrt[
    
20.         r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
21.            27 r2^4)])^(1/3) -
    
22.     9 r1^4 r2^8 (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
    
23.        6 Sqrt[3] Sqrt[
    
24.         r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
25.            27 r2^4)])^(1/3) +
    
26.     Sqrt[3] Sqrt[
    
27.      r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
28.         27 r2^4)] (2 r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
    
29.        6 Sqrt[3] Sqrt[
    
30.         r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
31.            27 r2^4)])^(
    
32.      1/3))/(6 r1^3 r2^4 (r1^4 r2^6 (7 r1^2 + 18 r1 r2 - 27 r2^2) +
    
33.       3 Sqrt[3] Sqrt[
    
34.        r1^8 r2^12 (3 r1^4 + 20 r1^3 r2 + 30 r1^2 r2^2 - 4 r1 r2^3 +
    
35.           27 r2^4)])^(2/3))

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Gongwen0519

r1、r2与R的关系：
$$
\left( r_1^2+r_2^2 \right) ^2=4\,r_1\,r_2\,\left( R^2-r_1^2-r_2^2 \right)
$$
r2、r3与R的关系：
$$
\left( r_2^2+r_3^2 \right) ^2=4\,r_2\,r_3\,\left( R^2-r_2^2-r_3^2 \right)
$$
由上二者可以推导出r1、r2、r3与R的四者关系：
$$
\left( \frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{r_{2}^{2}+r_{3}^{2}} \right) ^2=\frac{r_1\cdot \left( R^2-r_{1}^{2}-r_{2}^{2} \right)}{r_3\cdot \left( R^2-r_{2}^{2}-r_{3}^{2} \right)}
$$
以及推导出r1、r2、r3三者关系：
$$
r_2^4-2\,r_1r_3\,\cdot r_2^2-4\,r_1\,r_{3\,}\left( r_1+r_3 \right) \cdot r_2-r_1r_3\,\,\left( r_1^2+r_1r_3\,+r_3^2 \right) =0
$$