存在非无心的8阶平方兼完美幻方
1992年，郭先强先生构造了大量的8阶平方兼完美幻方，发现都是无心幻方，于是问：是否存在非无心的8阶平方兼完美幻方？
他猜想不存在，即8阶平方兼完美幻方必然是无心幻方。
所谓无心，只是对4N阶幻方而言的。比如8阶，指幻方中任意两个坐标之差=(4,4)(mod 8)的格中两数之和等于65。
无心幻方必然是完美幻方。完美幻方不见得是无心幻方，存在非无心的完美幻方。
（完美幻方也被称为全对称幻方、泛对角线幻方）
郭先生的猜想于2001年公布，牛国良于2013年5月28日成功构造了一个反例：
232356118165145
44549236038257
25760389234454
514518163561232
72538602395444
455116186135322
322613516184551
54442393860725
并且随后发现存在大量非无心的8阶平方兼完美幻方。 谢谢！
好久没玩幻方了，估计是我先前设计的特征搜索程序有点问题。 不知道是否存在纯素数的幻方，那一定更奇妙。 抱歉：
刚才检查了一下，有许多重复元素。因此我刚发的贴子是错误的。
可能程序判断重复元素的语句出问题了。 原来的问题还是没有解决。
朋友们还需努力。 我会继续努力，我会回来的。 我回来了。非无心的8阶平方兼完美幻方两例
129205855433816
514740145251860
454910362776422
313622441531234
82821635046359
544233114322361
445615373025719
266591748521339
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143385855292016
543223114423361
442573730561519
315312244136234
84635635028219
512518145474060
457643627491022
265213174865939
niuhuang2003 发表于 2020-3-23 23:09
我回来了。非无心的8阶平方兼完美幻方两例
已经MM10检查完毕，两个都是正确的。
两个反例具有变换关系：行(26)(37)列(26)(37) 我现在的主页暂无法更新，等可以更新时，将把楼主的反例添上。
“无心幻方”的恰当名称
“所谓无心，只是对4N阶幻方而言的。比如8阶，指幻方中任意两个坐标之差=(4,4)(mod 8)的格中两数之和等于65。”我没有追溯到这个“无心幻方”的定义和命名最早出自哪里。
在郭老板的主页上，貌似只有老板自己编制的幻方标明了“无心”性，其他人的没发现有。
莫不是郭老板独立特有的定义和命名？如果是的，那么这事就有机会商量一下。
“无心”应该是相对“有心”而言的。
而“有心”，貌似指幻方中处于中心对称的两格之和或者平方和之类为定值。
顾名思义，“无心”只是破（对称破缺），不含立。
然而我们现在所谓“无心幻方”虽然中心对称破缺，但定义却另有所“立”：对径格偶之和等于定值。
仅以“无心”谓之，不能反映其“立”（定义）。
这就导致了“非无心幻方”又不是“有心幻方”，双重否定不复肯定的尴尬。
何谓“对径格偶”？ 仍以8阶幻方为例加以说明。
完美幻方又有人别称“卷筒幻方”或者“环面幻方”。
以环面拓扑观之，坐标之差 = (4, 4) (mod 8)的两格互为对径格。
“对径格”这一定义的合理性在于旋转和镜像变换下的唯一性：
对于完美幻方中的某一格 (x,y)(mod 8),(x±a,y±b)(mod 8)和(x±b,y±a)(mod 8)一般是镜像和旋转变换下的8个对称格。
除了 a=b=0, 只有在 a=b=4 时，8格合一。
命名当反映所立定义，故此建议将“无心幻方”更名为“对径幻方”。
完美四阶幻方都是“对径幻方”。
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