存在非无心的8阶平方兼完美幻方

niuhuang2003

1992年，郭先强先生构造了大量的8阶平方兼完美幻方，发现都是无心幻方，于是问： 是否存在非无心的8阶平方兼完美幻方？ 他猜想不存在，即8阶平方兼完美幻方必然是无心幻方。 所谓无心，只是对4N阶幻方而言的。比如8阶，指幻方中任意两个坐标之差=(4,4)(mod 8)的格中两数之和等于65。 无心幻方必然是完美幻方。完美幻方不见得是无心幻方，存在非无心的完美幻方。 （完美幻方也被称为全对称幻方、泛对角线幻方） 郭先生的猜想于2001年公布，牛国良于2013年5月28日成功构造了一个反例：

2	32	35	61	18	16	51	45
44	54	9	23	60	38	25	7
25	7	60	38	9	23	44	54
51	45	18	16	35	61	2	32
7	25	38	60	23	9	54	44
45	51	16	18	61	35	32	2
32	2	61	35	16	18	45	51
54	44	23	9	38	60	7	25

并且随后发现存在大量非无心的8阶平方兼完美幻方。

gxqcn

谢谢！ 好久没玩幻方了，估计是我先前设计的特征搜索程序有点问题。

云梦

不知道是否存在纯素数的幻方，那一定更奇妙。

niuhuang2003

抱歉： 刚才检查了一下，有许多重复元素。因此我刚发的贴子是错误的。 可能程序判断重复元素的语句出问题了。

niuhuang2003

原来的问题还是没有解决。 朋友们还需努力。

niuhuang2003

我会继续努力，我会回来的。

niuhuang2003

我回来了。非无心的8阶平方兼完美幻方两例

1 29 20 58 55 43 38 16 51 47 40 14 5 25 18 60 45 49 10 36 27 7 64 22 31 3 62 24 41 53 12 34 8 28 21 63 50 46 35 9 54 42 33 11 4 32 23 61 44 56 15 37 30 2 57 19 26 6 59 17 48 52 13 39

------

1 43 38 58 55 29 20 16 54 32 23 11 4 42 33 61 44 2 57 37 30 56 15 19 31 53 12 24 41 3 62 34 8 46 35 63 50 28 21 9 51 25 18 14 5 47 40 60 45 7 64 36 27 49 10 22 26 52 13 17 48 6 59 39

hujunhua

niuhuang2003 发表于 2020-3-23 23:09
我回来了。非无心的8阶平方兼完美幻方两例

已经MM10检查完毕，两个都是正确的。
两个反例具有变换关系：行(26)(37)列(26)(37)

gxqcn

我现在的主页暂无法更新，等可以更新时，将把楼主的反例添上。

hujunhua

“所谓无心，只是对4N阶幻方而言的。比如8阶，指幻方中任意两个坐标之差=(4,4)(mod 8)的格中两数之和等于65。”

我没有追溯到这个“无心幻方”的定义和命名最早出自哪里。
在郭老板的主页上，貌似只有老板自己编制的幻方标明了“无心”性，其他人的没发现有。
莫不是郭老板独立特有的定义和命名？如果是的，那么这事就有机会商量一下。

“无心”应该是相对“有心”而言的。
而“有心”，貌似指幻方中处于中心对称的两格之和或者平方和之类为定值。
顾名思义，“无心”只是破（对称破缺），不含立。
然而我们现在所谓“无心幻方”虽然中心对称破缺，但定义却另有所“立”：对径格偶之和等于定值。
仅以“无心”谓之，不能反映其“立”（定义）。
这就导致了“非无心幻方”又不是“有心幻方”，双重否定不复肯定的尴尬。

何谓“对径格偶”？ 仍以8阶幻方为例加以说明。
完美幻方又有人别称“卷筒幻方”或者“环面幻方”。
以环面拓扑观之，坐标之差 = (4, 4) (mod 8)的两格互为对径格。
“对径格”这一定义的合理性在于旋转和镜像变换下的唯一性：
对于完美幻方中的某一格 (x,y)(mod 8),  (x±a,y±b)(mod 8)和(x±b,y±a)(mod 8)一般是镜像和旋转变换下的8个对称格。
除了 a=b=0, 只有在 a=b=4 时，8格合一。

命名当反映所立定义，故此建议将“无心幻方”更名为“对径幻方”。
完美四阶幻方都是“对径幻方”。