用java geometry expert 做了一个动画。
看得出来，这个作图方法的弱点是不太适合原点附近和两端附近的点。因为，
对于原点附近的点，作图时需要同时画很大和很小的圆，
对于两端附近的点，作图时需要同时画两个的圆。
晒一下我的证明，感觉要被wayne的证明给比下去了。
wayne用的是圆的切割线定理，我则用的是圆的相交弦定理。貌似切割线定理的图来得紧凑些。
首先需要找到把BC、CA看作入射光线和反射光线的镜像线。为此我们将弓形所在的圆补全，延伸TM至T的对径点D。
由于对称性，D是弧ADB的中点，故连线CD是圆周角ACB的角平分线，从而是反射系统的法线，因TC⊥CD, 所以TC就是我们要找的镜像线。
现在，作出反射光线CA的镜像CA'. 由对称性知A、B、A’都在以一个T为中心的圆T上。
记法线CD被圆T所截的弦为A_tB_t，它到圆心T的距离即TC。
由于TC=TM，所以弦AB=A_tB_t。注意BCA'亦是圆T的弦，由相交弦定理得
A'C*BC=A_tC^2, 由相等的线段代换得AC*BC=AM^2.
终于搞定 GeoGebra 动画导出的问题。
换了一种方式，前面的动画在原点附近和两端附近 效果不好，是因为 每帧 是根据MT匀速跑的效果。
现在换成CM云角速度跑，效果就好多了
两种简单的证明不为多，要是走出第三条路来，那才生光添彩。
hujunhua 发表于 2013-7-8 21:51
两种简单的证明不为多，要是走出第三条路来，那才生光添彩。
嘿嘿。第三条路 新鲜出炉，,跟第一个简洁方法一样也是割线定理，但用的是不同的割线！
做圆心为T半径为MT的圆，设交圆弧ACB与点D，
做直线AT，交 圆T于两点E,F， E在AT线段内部，F在外侧。
则△ACF ∽ △AED , 于是AC/AE=AF/AD
所以 AC*BC =AC*AD = AE*AF =AM^2
得证！
本帖最后由 hujunhua 于 2013-7-9 15:20 编辑
受到wayne的两个证明（20#和26#）的启发，得到一个图线不超出弓形范围的证明。这个应该记在wayne的头上，是20#证明的简化。
作图的叙述我就省了。
由于BT是角CBD的平分线，所以BD=BE，由BE*BC=BM^2代换得AC*BC=AM^2.
还是老大英明神武，敏捷犀利啊！
总共就三个显眼的割线，20#是最外面的一个，26#是中间的一个，老大是最靠内的一个，所以图形也最紧凑。
我拙计了，竟然没看穿！
莫非这就是传说中的“我被浮云遮望眼，老大却在此山中”？
要是谁在3#就直接给出27#之答案，可以称之为秒杀吧。那将显得这个题目多没意思哦。
wayne 发表于 2013-7-8 18:13
终于搞定 GeoGebra 动画导出的问题。
换了一种方式，前面的动画在原点附近和两端附近 效果不好，是因为...
前面的动画做的太差劲了，geogebra 不论画轨迹，还有动画，都可以很专业的：